专题03独立性与离散型随机变量及其分布-2020-2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习（苏教版选修2-3）

2020—2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习 03 独立性与离散型随机变量及其分布 【例题精讲】 一、独立事件、互斥事件与对立事件及其概率计算 事件的相互独立性 （1）定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． （2）性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 例1．如图，某系统使用，，三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件，，正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为 A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994 【答案】C 【解析】某系统使用，，三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响． 当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时系统即可正常工作． 元件，，正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8， 则系统正常工作的概率为：． 例2．（多选）一个不透明的袋子里装有形状、大小都相同，颜色分别是红、黄、蓝的3只球．现从中随机无放回地依次摸出2只球，记“第一次摸到的是红球”为事件，“第二次摸到的是黄球”为事件．则下列说法正确的有 A．事件发生的概率为 B．事件与事件为互斥事件 C．事件与事件相互独立 D．事件，的积事件发生的概率为 【答案】AD 【解析】一个不透明的袋子里装有形状、大小都相同，颜色分别是红、黄、蓝的3只球． 现从中随机无放回地依次摸出2只球， 记“第一次摸到的是红球”为事件，“第二次摸到的是黄球”为事件， 对于，事件发生的概率为，故正确； 对于，事件与事件可能同时发生，不是互斥事件，故错误； 对于，事件与事件不是相互独立事件，故错误； 对于，事件，的积事件发生的概率为，故正确． 例3．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中得概率分别为，，，这三门科目考试成绩互不影响，则这位考生至少得2个的概率为 ． 【答案】 【解析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中得的事件分别为，，， 则（A），（B），（C）， 这位考生至少得2个的概率为： (A)(B)(A)(C)(B)(C)(A)(B)(C) ． 例4．某商圈为了吸引顾客举办了一次有奖竟猜活动，活动规则如下：两人一组，每轮竞猜中，每人竞猜两次，两人猜对的次数之和不少于3次就可以获得一张奖券．小蓝和她的妈妈同一小组，小蓝和她妈妈猜中的概率分别为，，两人是否猜中相互独立，若，则当小蓝和她妈妈获得1张奖券的概率最大时，的值为 ． 【答案】 【解析】小蓝和她妈妈获得1张奖券的概率为： ， ，，且，，， ，， 令，则，当时，取得最大值，此时，或，，故． 例5．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为． （1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率； （2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？ 【解析】解：（1）设事件为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”，则有两类： 第一种是甲和乙比赛，甲胜乙，再甲与丙比赛，丙胜甲， 再丙与乙比赛，乙胜丙，再进行第四场比赛， 第二种是甲和乙比赛，乙胜甲，再乙与丙比赛，丙胜乙， 再丙与甲比赛，甲胜丙，进行行第四场比赛， 甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率为： ． （2）设事件表示甲与乙先赛且赛且甲获得冠军， 事件表示甲与丙先赛且甲获得冠军，事件表示乙与丙先赛且甲获得冠军， （A）， （B）， （C）， ， 甲与乙进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大． 二、n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算公式 用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n) 例1．现有5个人独立地破译某个密码，已知每人单独译出密码的概率均为，且，则恰