压轴40 圆锥曲线中的对称性问题-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴40 圆锥曲线中的对称性问题 一、单选题 1. 已知P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交y轴于点A，则的内切圆半径为 A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】解：由双曲线知，设的内切圆半径为r， ，，， ，，， 由图形的对称性知，，，解得， 故选B． 2. 已知椭圆C：，直线：，若椭圆C上存在两点关于直线对称，则m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：设、是椭圆C上关于直线l的对称的两点， AB中点M的坐标为 ， ， 、B在椭圆C上 两式相减，得 即 ，又点M在l上 ， 点M在椭圆内部， 故选C． 3. 下面是对曲线C：的一些结论，正确的结论是 的取值范围是；  曲线C是中心对称图形； 曲线C上除点，外的其余所有点都在椭圆的内部； 过曲线C上任一点作y轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于； A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由曲线C：可得，即，可得，故正确； 将方程C中的x换为，y换为，方程不变，所以曲线C是中心对称图形，故正确； 由可得，则 ， 可得曲线C上除点，外的其余所有点都在椭圆的外部，故错误； 设过曲线C上任一点，垂线段中点为，可得，， 由， 即为，由，即， 可得，则垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不小于故错误． 故选C． 4. 如图，直线l为双曲线C：的一条渐近线，，是双曲线C的左、右焦点，关于直线l的对称点为，且是以为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，则双曲线C的离心率为 A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】解：直线l为双曲线C：的一条渐近线，则直线l为， ，是双曲线C的左、右焦点， ，， 关于直线l的对称点为，设为， ，， 解得，， ， 是以为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点， ， 整理可得， 即， ， 故选C． 5. 点P在曲线C：上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：于B点，满足或，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是 A. 曲线C上的所有点都是“H点” B. 曲线C上仅有有限个点是“H点” C. 曲线C上的所有点都不是“H点” D. 曲线C上有无穷多个点是“H点” 【答案】D 【解析】由题意，P、A的位置关系对称，于是不妨设，此时． 由相似三角形， 即： 设PA：，与椭圆联立方程组， 得到， 解得 ，即 联立，得， 而， 即， 即， 又，得到， 再根据，得到， 即当时，，故此时不存在H点， 又因为P的位置可以和A互换互换后即， 所以“H”点的横坐标取值为， 故选：D． 6. 已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于两点，且线段AB的中点为，则直线l的斜率为 A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】解：椭圆C：的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12， ，解得，， 椭圆方程为． 直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为， 设，，则，． 又，两式相减，得：， ， 直线l的斜率． 故选C． 7. 某同学研究曲线的性质，得到如下结论：，y的取值范围是曲线C是轴对称图形曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为其中正确的结论序号为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：曲线C的方程， ，则， x的范围为R，对应的y的范围为R，命题正确 在中，取，方程不变， 曲线C的图象关于直线对称，命题正确 设曲线C上的任意一点坐标为，则点到坐标原点的距离， 设，所以， 所以； 设，， 令，则， 所以当，时，距离有最小值，命题正确 故选D． 8. 已知椭圆C：的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆交圆于P，Q两点，且，则椭圆C的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图所示，设点P为两圆在第一象限的交点， 设OF的中点为点M，由于两圆均关于x轴对称， 则两圆的交点P，Q也关于x轴对称， 又， 则PQ为圆M的一条直径， 由图可知，轴， 所以点P的坐标为， 将点P的坐标代入圆得， 又， 可得， 则． 故选D． 9. 抛物线与直线交于A、B两点，且A、B两点关于直线对称，则m的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图， 联立，得．， 设，， 则，． ，． ，B关于直线对称， 的中点在直线上，即，解得． 故选C． 10. 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点M作椭圆，当所作椭圆的长轴最短时，记该椭圆为C，线段OM的中点为N，过N的直线与椭圆C交于的两点，若四边形OPMQ为平行四边形，则直线的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：椭圆的两焦点分别为，，由椭圆的定义可知长轴长， 要使椭圆C的长轴长最短，实际上就是在直线上找一点M到