专题01 利用导数研究函数的性质(知识点串讲) - 2020-2021学年高二下学期数学期末考点大串讲（苏教版）

专题01 利用导数研究函数的性质（苏教版） 知识整合 1、 导数的概念 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)． 2. 导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，)处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 例 1 （1） （2020年高考全国Ⅰ卷理数）函数的图像在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． （答案）B （解析） ，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B． （2） （2020·安徽省六安一中高二月考）已知函数，则 （ ） A．2 B． C． D．3 （答案）B （解析） 根据题意，对函数，有， 又由， 则，则有.故选：B. 【变式】（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A． B．a=e，b=1 C． D．， （答案）D （解析） ∵ ∴切线的斜率，， 将代入，得. 故选D． 例2、已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程． （解析）　 (1) 由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y＝f(x)上， ∴f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13， ∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)， 即y＝13x－32. (2)(方法1)设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1， ∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16. 又∵直线l过点(0，0)， ∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16， 整理得x＝－8，∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13， 故直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． (方法2)设直线l的方程为y＝kx，切点坐标为(x0，y0)，则k＝＝. 又∵k＝f′(x0)＝3x＋1， ∴＝3x＋1，解得x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y＝－＋3垂直，∴该切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x＋1＝4， ∴x0＝±1，∴或 故切线方程为y－(－14)＝4(x－1) 或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14. 【跟踪练习】 1、利用导数的定义解答下列问题：f(x)＝在x＝1处的导数 （解析） ∵＝＝＝ ＝ ＝， ∴当Δx→0时，→－，∴f′(1)＝－. 2、（2018年高考全国Ⅰ卷理数）设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． （答案）D （解析） 因为函数是奇函数，所以，解得，所以， ， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，化简可得. 故选D. 3、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）曲线在处的切线方程为，则实数______. （答案）1； （解析） 因为， 所以，所以，， 故曲线在处的切线过且斜率，故切线方程为 所以 故答案为： 【解题技巧】 (1) 曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义. 在此题中，点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点P. (2) 对于曲线的切线问题，一定要注意题目所给的条件；当已知切点位置时，可以直接求导数，然后将切点的横坐标代入，即可以得到切线的斜率；当已知切线经过某一个点时，应该设出切点，求解出切线方程，再利用切线经过切点求解． 知识整合 1、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα f′(x)＝αxα－1 基本初等函数 导函数 f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝e