专题02 二项式定理-2020-2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习（苏教版选修2-3）

2020—2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习 02 二项式定理 【例题精讲】 一、利用通项公式求二项式定理的特定项或系数问题 公式：(n)．这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数(r＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝． 2．二项展开式形式上的特点 （1）项数为n＋1． （2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n． （3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n． （4）二项式系数从，，一直到，． 3．“杨辉三角”与二项式系数的性质 （1）“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和． （2）对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即＝． （3）增减性与最大值：二项式系数，当k＜时，二项式系数逐渐增大；当k＞时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大． （4）各二项式系数的和：的展开式的各项二项式系数之和为，即＋＋…＋＝． （5）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即＋＋…＝＋＋…＝． （一）求展开式的特定项或系数 例1．（1）展开式中第6项的二项式系数为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得通项为：，，故第六项的二项式系数为：． （2）展开式中的常数项是 A． B． C．90 D．270 【答案】A 【解析】的通项公式，令，解得，则， 故展开式中的常数项是． （3）二项式的展开式中的系数为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，解得， 故二项式的展开式中的系数为． （4）在二项式的展开式中，有理项的个数为 ． 【答案】3 【解析】二项式的展开式中，通项公式为，令为整数，可得，4，8，故展开式的有理想共有3项． （二）求展开式的特定项或系数 例2．（1）的展开式中的系数为 A．45 B． C．120 D． 【答案】A 【解析】的展开式的通项公式为， 对于，它的通项公式为，，令，可得，，故展开式中的系数为． （2）的展开式中，常数项为 A．1 B．3 C．4 D．13 【答案】D 【解析】由于的表示4个因式的乘积， 故展开式中的常数项可能有以下几种情况：①所有的因式都取1；②有2个因式取，一个因式取1，一个因式取；故展开式中的常数项为． （三）两个二项式相乘的系数问题 例3．（1）的展开式中，项的系数为 A． B．17 C．20 D．63 【答案】B 【解析】因为的展开式通项公式为：，令分别取0，1，2； 展开式中含项为；含项的系数是17． （2）的展开式的常数项是 ． 【答案】3 【解析】二项式，故它的展开式的常数项为． 二、二项式系数或系数的最值问题 例1．在二项式的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为 ． 【答案】 【解析】在二项式的展开式中，通项公式为， 故第项的系数为，由，可得，， 故当时，该二项展开式中系数最大，即该项为． 例2．（多选）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】CD 【解析】的展开式中第3项与第8项的系数相等，；所以，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项． 例3．已知的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的． （1）求的值； （2）求的展开式中系数最大的项． 【解析】解：（1）根据题意，设该项为第项，则有， 即亦即，解得，． （2）设第项系数最大，则有， 即亦即，解得， ，二项式展开式中系数最大的项为． 三、二项式系数和或系数和问题 例1．若，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 令，可得，故错误； 令，可得，故，故错误； 根据， 可得， 再令，可得，故正确； 对已知等式两边求导，可得， 令，可得， 由二项展开式的通项公式可得， 所以，故错误． 例2．（多选）已知，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】， 令，得， 令，得，所以，故正确； 由， 所以，故错误； 令，得， 所以，又，所以，故正确； 设， 则， 令，得，故正确． 例3．设，，则的值为 ． 【答案】128 【解析】， 取，得， 取，得， 两式作和得， 两式作差得， ． 四、二项式定理的应用 例1．已知，且，可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就