押江苏南京中考数学第27题（函数综合与探究）-备战2021年中考数学临考题号押题（江苏南京专用）

押江苏南京中考数学第27题 几何、函数综合与探究 近几年南京中考来看,试卷的第27题比较难，属于压轴题，主要以几何探究和函数综合为主要考查内容。例如：2020年第27题考查了几何的综合运用和探究；2019年第27题考查了函数的综合运用和探究；2018年第27题考查了几何图形的规律探究。命题侧重对所学知识的理解和运用，难度较大。 解此类题型对考生的要求比较高，需要考生熟练的掌握几何图形变换的性质、几何图形的性质、函数的性质，并运用数学思想和方法，通过分析来解答。对于几何图形变换的题目我们要抓住几何图形 中不变的量，以此寻找数量关系找到突破口；而对于几何图形中的性质问题，除了要熟练掌握性质本身的知识点外，还要学会全面思考，可以采用举反例的方法或者代入法来验证。 1．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，二次函数 、 EMBED Equation.DSMT4 的图像分别为 、 ， 交 轴于点 ，点 在 上，且位于 轴右侧，直线 与 在 轴左侧的交点为 ． （1）若 点的坐标为 ， 的顶点坐标为 ，求 的值； （2）设直线 与 轴所夹的角为 ． ①当 ，且 为 的顶点时，求 的值； ②若 ，试说明：当 、 、 各自取不同的值时， 的值不变； （3）若 ，试判断点 是否为 的顶点？请说明理由． 【答案】（1） ；（2）① ；②见解析；（3）点A是C1的顶点，理由见解析． 【分析】解：（1）∵ 的顶点坐标为 ， ∴ ， 将点P（0,2）代入得： ， 解得： ； （2）①由题意可知， ， 如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，则M（0，n），MA=m， ∵直线 与 轴所夹的角为 ， ∴△MAP为等腰直角三角形， ∴MA=MP=m， ∴OP=n-m， ∴P（0，n-m），代入 得： ， 解得： ； ②如图所示，当 时， 将x=0代入 ，得 ， ∴ ， 当 时， ， 解得： ， ∴ ， ∴AP=2m， 当 时，即 ， 解得： ， ∵点B在y轴左侧， ∴ ， ∴PB= ， ∴ ，不变． （3）如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C， 则BD∥AC， ∴△BDP∽△ACP， 设 ，则PD=-x，BD= ， ∵PA=2PB， ∴CP=2PD=-2x，AC=2BD= ， ∴ ， 代入 得： ， 化简得： ，解得： ， （舍去）， ∴ ，则点A是C1的顶点． 2．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M(﹣1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点． （1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及 的值； （2）随着a的变化， 的值是否发生变化？请说明理由； （3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式． 【答案】（1）N(4，﹣4)， ＝ ；（2）不变，理由见解析；（3）y＝﹣ x2+ x+ ． 【分析】解：（1）分别过点M、N作ME⊥CD于点E，NF⊥DC于点F， ∵ME∥FN∥x轴， ∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN， ∴ ， ， ∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c， 将M(﹣1，1)代入上式并解得：c＝4， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4， 则点D(1，5)，N(4，﹣4)， 则ME＝2，DE＝4，DC＝5，FN＝3，DF＝9， ∴ ，解得：AC＝ ，BC＝ ， ∴ ＝ ； （2）不变，理由： ∵y＝ax2﹣2ax+c过点M(﹣1，1)，则a+2a+c＝1， 解得：c＝1﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)， ∴点D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)， ∴ME＝2，DE＝﹣4a， 由（1）的结论得：AC＝ ，BC＝ ， ∴ ＝ ； （3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE， ∵FB＝FE，FH⊥BE， ∴BH＝HE， ∵BC＝2BE， 则CE＝6HE， ∵CD＝1﹣4a， ∴FH＝ ， ∵BC＝ ， ∴CH＝ × ＝ ， ∴F( ﹣ ， ﹣ )， 将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)＝a(x+1)(x﹣3)+1得： ﹣ a＝a( ﹣ +2)( ﹣ ﹣2)+1， 解得：a＝﹣ ， 故y＝﹣ x2+ x+ ． 3．（2020·江苏宿迁市·中考真题）二次函数 的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E． (1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标； (2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； (3)如图②，P是该二次函数图象上