2021届河南省郑州市高三第三次质量预测（三模）理科数学试题（高清扫描版）

$2020-2021高三三测理科数学评分参考 一、选择题 DCDDA ACDBB CB 二、填空题 12. -3; 14． 15． 16. 1010. 三、解答题 17.解：（1）在中，由余弦定理得， 整理得，所以或． 当时，，则，不合题意，舍去； 当时，，则，符合题意． 所以．……………6分 （2） 在中，，所以， 又， 所以 在中，，所以12分 18（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，，……2分 ，， ，. 又，平面PBC， ∵平面EAC，平面平面PBC. ……………5分 （2）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0），P A B C D E x y z 设P（0，0，a）（a>1），则E（，，）， ，，, 设平面EAC的法向量=（x，y，z）， 则， 设直线PA与平面EAC所成角为，则，解得或（舍去）. 取，则，为面PAC的法向量，，， 所以二面角的余弦值为. ……………12分 19.解：（1）由频率分布直方图，A、B、C类芯片所占频率分别为0.15，0.45，0.4，取出C类芯片的概率为， 设“抽出C类芯片不少于2件”为事件A， …………4分 （2）（i）用更适合； ……………6分 （ii），令，，则，， 由表中数据可得，， 则，所以，， 即， 因为，所以 ……………10分 （iii）当，.所以年销售量的预报值为300万件. ………12分 20.解：（1）设切线PB的方程为，代入抛物线的方程得， 由相切的条件可得，即， 由直线与圆相切可得圆心到直线距离，即， 所以，或（舍去），. ……………6分 （2）设切线方程为，即， 圆心到直线距离，整理得， 设PA，PB斜率分别为，则 令y=0，得， ， 令，， 在上单调递增，所以 所以的最小值为2. ……………12分 21.（1）解：由题意可得f（x）的定义域为，， 由f'（x）＜0，得；由f'（x）＞0，得． 则f（x）在上单调递减，在上单调递增． 故 ……………5分 （2）要证成立，即证 ，即证， 即证． 设g（x）＝xlnx﹣x+1，由（1）可知g（x）min＝g（1）＝0． 设则 由h'（x）＞0，得0＜x＜2；由h'（x）＜0，得x＞2， 则h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 故h（x）max＝h（2）＝0， 因为g（x）与h（x）的最值不同时取得，所以g（x）＞h（x），即故当x＞0时，不等式ex（xlnx+1）﹣x（ex+x）+4ex﹣2＞0恒成立． ……………12分 22.解：（1）因为直线，故， 即直线的直角坐标方程为.……………2分 因为曲线：，则曲线的直角坐标方程为， 即.………4分 （2）设直线的参数方程为（为参数）， 代入曲线的直角坐标系方程得. 设，对应的参数分别为，，则，， ……………6分 所以M对应的参数， 故……………10分 23.（1），图像如下所示.……………5分 （2）由（1）知，，所以，利用柯西不等式 所以最小值为3.当且仅当时等号成立.……………10分 $ $