2021届河南省郑州市高中毕业年级第三次质量预测理科数学试题

P A B C D E x y z 2020-2021 高三三测理科数学评分参考 一、选择题 DCDDA ACDBB CB 二、填空题 12. -3;14． 1 1 2 284 ;a b 15． ; 4 103 16. 1010. 三、解答题 17.解：（1）在 ABD 中，由余弦定理得 2 2 22 cosAB BD AB BD B AD     ， 整理得 2 12 32 0BD BD   ，所以 8BD  或 4BD  ． 当 4BD  时， 16 49 81 2 cos 2 4 7 7 ADB         ，则 2 ADB    ，不合题意，舍去； 当 8BD  时， 64 49 81 2 cos 2 8 7 7 ADB        ，则 2 ADB    ，符合题意． 所以 8BD  ．……………6 分 （2）在 ABD 中， 2 2 2 c 1 s 2 1 21 o AB AD BD BAD AB AD       ，所以 2 in 8 5 1 s BAD  ， 又 3 in 5 7 s ADB  ， 所以 3 5 11 2 17 5 sin sin( ) s 8 5 21 in( ) . 7 21 7 147 C ADB CAD ADB BAD           在 ACD 中， sin sin CD AD CAD C   ，所以 7 8 5 392 sin . sin 21 1717 5 147 AD CD CAD C       12 分 18（1）证明： 平面 ABCD， 平面 ABCD， ，……2 分 ， ， ， . 又 ， 平面 PBC， ∵ 平面 EAC， 平面 平面 PBC. ……………5 分 （2）以 C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则 C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0）， 设 P（0，0，a）（a>1），则 E（ ， ， ）， (1,1,0)CA   ， ， (1,1, )PA a   , 设平面 EAC 的法向量 =（x，y，z）， 则 0, 1 1 0, 2 2 x y x y az         2 (1, 1, )m a     ， PC AC PCAC  2AB 1CDAD 2 BCAC 222 ABBCAC  BCAC  CPCBC  AC AC  EAC 2 1 2 1  2 a ) 2 , 2 1 , 2 1 ( a CE  m  设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ，则 2 2 1 1 2 2 sin | cos , | 34 2 2 PA m a a             ， 解得 4 25 4 0,a a   2a  或 1a  （舍去）. 取 (1, 1,0)CB    ，则 0CB CP CB CA        ， CB  为面 PAC 的法向量， (1, 1, 1)m     ， 2 6 cos , | 32 3 m CB      ， 所以二面角P AC E  的余弦值为 6 3 . ……………12 分 19.解：（1）由频率分布直方图，A、B、C 类芯片所占频率分别为 0.15，0.45，0.4，取出 C 类芯片的概率为 2 5 ， 设“抽出 C类芯片不少于 2件”为事件 A， 3 2 2 3 2 2 3 44 ( ) ( ) ( ) . 5 5 5 125 P A C   …………4 分 （2）（i）用 dy c x  更适合；……………6 分 （ii） ln ln lny c d x  ，令 lnu x ， ln y  ，则 lnc du   ， 3.2, 5u   ， 由表中数据可得， 5 1 5 2 22 1 5 82.4 5 3.3 5 2.4 1ˆ 56 5 3.2 4.8 2 5 i i i i i u uv d u u                 ， 则 1ˆln 5 3.2 3.4 2 c bu      ，所以， ˆ 3.4 0.5u   ， 即 1 3.4 2ˆln 3