预测07 圆中的分类讨论问题（三角形的存在性）-【临门一脚】2021年中考数学三轮冲刺过关（上海专用）

预测07 圆中的分类讨论问题（三角形的存在性） 年份 题型      考点  分值 15 综合25 25-1同圆的半径相等+全等三角形的判定； 25-2相似三角形的判定+相似三角形的性质； 25-3直角三角形的存在性 14 16 综合25 勾股定理，A.A判定三角形相似，等腰三角形分类讨论 14 17 综合25 25-1同圆的半径相等+A.A判定三角形相似 25-2直角三角形的存在性+特殊角 25-3比例中项 14 18 综合25 25-1垂径定理+四者关系 25-2锐角三角比+构造平行线 25-3圆与正多边形、中心角 14 19 综合25 相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识 14 20 综合25 25-1垂径定理+等腰三角形的三线合一 25-2等腰三角形的存在性问题 25-3构造平行线+勾股定理、构造X/A基本图形 14 以圆为背景的分类讨论问题主要涵盖三角形的存在性(等腰、直角、相似三角形的存在性)、点在线段或其延长线上或梯形的存在性等。本节主要围绕三角形的存在性进行分类讨论。 直角三角形存在性问题 （2015·上海中考真题）（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） 已知：如图， 是半圆 的直径，弦 ，动点 、 分别在线段 、 上，且 ， 的延长线与射线 相交于点 、与弦 相交于点 （点 与点 、 不重合）， ， ．设 ， 的面积为 ． （1）求证： ； （2）求 关于 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当 是直角三角形时，求线段 的长． 解法分析：本题是圆背景下的综合题，问题的解决围绕着全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质(相似三角形的面积比等于底之比)以及合理利用锐角三角比。第1问联结半径构造全等即可，第2问借助X型基本图形可以构建函数关系式；第3问的直角三角形的存在性是本题的难点，首先先根据其存在性画出对应的图形，利用角的关系排除不存在的情况，其次再利用cos∠C求出相应的线段大小，根据第2问定义域的范围舍去不合题意的x的值。 在圆中，我们往往可以利用“同圆的半径相等”，构造等腰三角形，找半径、连半径就成了关键所在。通过利用等角，再根据题目中的已知条件，我们可以用字母表示某个角，再利用三角形的内(外)角和的关系，求出某个角的度数(或其中的数量关系)，从而助力问题的解决。 2017年上海中考真题 解法分析：本题充分利用了“同圆的半径相等”，第1问结合了全等三角形的判定定理；第2问虽考察了直角三角形的存在性，但是解法途径是利用特殊角的三角比得出相应线段得长度；第3问的解法较多，但利用“等高的三角形的面积比等于底之比”的思路来解决比较简单，再结合比例中项的意义进行问题解决，整体难度不大。 2.等腰三角形存在性问题 解法分析：本题是圆背景下的综合题，问题的解决围绕着垂径定理、等腰三角形的三线合一进行展开。本题的第1问的解决围绕着垂径定理和X型基本图形进行展开；本文的第2问是等腰三角形的存在性讨论，根据题意画出符合条件的图形，然后利用角的关系舍去不存在的情况，利用等腰三角形的三线合一定理添加辅助线，最后利用锐角三角比求出相应线段的长度。 2020年长宁区二模25题 解法分析：本题不论从图形背景还是解题方法上都与2017上海中考如出一辙。第1问仍旧是考察了全等三角形的判定定理和性质定理；第2问考察了特殊角的三角比以及构造基本图形求比例线段的比值；第3问考察了等腰三角形的存在性，但还是利用特殊角的三角比，从而求出相应线段的长度。 3.相似三角形存在性问题 解法分析：本题是圆背景下的综合题，问题的解决围绕着等角的余角相等，锐角三角比、等腰三角形的三线合一、解直角三角形展开。本题的第1问利用∠B和∠BDE分别是∠PDA和∠A的余角进行解决；第2问利用∠B的三角比，将BD用含x的代数式表示，定义域的确定要注意P与A、C重合时的情况；第3问是相似三角形的存在性，先找到等角，再进行分类讨论，根据角的大小关系排除不可能的情况，再利用37°和53°角的三角比解▲BPD，求AD的长。 对于圆背景下三角形的分类讨论问题，首先根据题意画出图形，直观的图形对于问题的解决起到一半的作用，然后再进行分类讨论，对于等腰三角形的存在性问题往往与“等腰三角形的三线合一定理”或“等角的三角比相等”或“A.A判定三角形相似”进行展开；对于直角三角形的存在性问题往往与“锐角三角比”及“勾股定理”展开；对于相似三角形的存在性，先找到一组等角，然后从角的角度进行分析更加简便。当题目中出现37°、53°等特殊角时，要灵活构造直角三角形，解三角形，求得对应线段的长度。 1．（2020·上海中考真题）如图，△