选择题压轴题 专题4 解析几何-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（上海专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学选择题压轴题【上海版】 专题4 解析几何 1．（2021上海洋泾中学高三上学期期中）函数图像的一条对称轴方程为，则直线与的夹角大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的对称轴求出的关系． 【解析】函数图像的一条对称轴方程为 解得，设直线与的夹角为， 直线的一个法量为，直线的一个法向量为， 则，∴，故选． 【名师点睛】方法点睛：本题考查求两直线的夹角，求直线夹角的方法： （1）利用夹角公式：两直线的斜率，夹角公式为（不垂直时）； （2）利用法向量的夹角与两直线的夹角相等或互补求解； （3）由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补求解． 2．（2021·上海闵行区一模）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有，则双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的面积关系寻求等量关系，再推导出关系即可． 【解析】，且是的内心， 设内切圆的半径为，则， ，即，，即， 渐近线方程是．故选D． 【名师点睛】求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系． 3．（2021·上海市位育中学月考）若直线与曲线交于不同的两点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到表示双曲线的右支，联立直线与曲线方程，设两交点为，，结合韦达定理，以及判别式，即可得出结果． 【解析】∵表示双曲线的右支， 由消去得，整理得， 设直线与曲线的两交点为，， 其中，，则，解得， 又，解得．综上，．故选D． 【名师点睛】本题主要考查由直线与双曲线位置关系求参数，属于常考题型． 4．（2021上海市五爱高级中学高三期中）（2017·广州市模拟）已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线的右焦点到左顶点的距离为 ，焦点到渐近线的距离为，则， ，因此，， ，渐近线方程为，即 选． 【名师点睛】求双曲线的渐近线方程，就是寻求或，求法与求离心率类似，只需找 出一个的等量关系，削去后，求出或，就可以得出渐近线方程，削去 后，就可以求，即可求出离心率． 5．（2021·上海市实验学校模拟）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围． 【解析】由得，，， ∴可为的整数有0，-1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(1，1)， (-1，0)，(-1，1)六个整点，结论①正确． 由得，，解得，∴曲线上任意一点到原点的距离都不超过． 结论②正确． 如图所示，易知， 四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误．故选C． 【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查，渗透“美育思想”． 6．（2021上海市嘉定区第一中学高三月考）如图所示，在正方体中，点P是平面上一点，且满足为正三角形．点M为平面内的一个动点，且满足．则点M在正方形内的轨迹为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】利用空间上到，两点距离相等的点在线段的垂直平分面上排除选项，进而求解 【解析】空间上到，两点距离相等的点在线段的垂直平分面上，此平面与正方形相交可得一条线段，可排除，；又由点到，两点的距离显然不相等，排除，故选A． 【名师点睛】本题考查空间中的动点轨迹问题． 7．（2021上海市新场中学高三月考）已知、为平面上的两个定点，且．该平面上的动线段的端点、，满足，，，则动线段所形成图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先由题意，以为坐标原点，以所在直线为轴，以的垂线为轴，建立平面直角坐标系，得到，，设，根据向量数量积的运算，得到动点的轨迹，求出扫过的三角形的面积；再推出动点轨迹，求出扫过的三角形的面积，进