选择题压轴题 专题3 三角-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（上海专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学选择题压轴题【上海版】 专题3 三 角 1．（2021上海市南洋模范中学高三期中）已知函数各项均不相等的数列满足．令．给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列使得；（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；（3）若数列是等差数列，则对恒成立，其中真命题的序号是（ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】 由题意，函数是奇函数，只需考查函数在的性质，此时，都是增函数，所以在上也是增函数，即时，，对于（1），，即可判断；对于（2），运用等比数列求和公式和和三角函数的性质，即可判断；对于（3），运用等差数列求和公式，及不等式的性质，结合函数的单调性，即可判断； 【解析】 由题意得，所以是奇函数，只需考查函数在的性质，此时，都是增函数，所以在上也是增函数，即函数在上也是增函数，设 若，则，，即 若，则，，即 所以时，， 对于（1），取，，故（1）正确； 对于（2），， 又 令，则 又，知，则，则， ， 又在上单减，，即， ，即，则， 由的任意性可知，， 又，所以，故（2）正确； 对于（3），数列是等差数列， 若，则； 若，即，又是奇函数也是增函数有，可得；同理： 若，可得； 若，可得； 相加可得：若，可得，即； 同理若，可得，即，故（3）正确； 故选D． 【名师点睛】 关键点睛：本题考查真假命题的判断，关键是要理解新定义的函数的性质及应用，考查了函数的单调性与奇偶性的问题，考查了等差等比数列的性质与应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题． 2．（2021·上海徐汇区·位育中学高三开学考试）在中，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】 先取得或，分和两种情况讨论，结合三角恒等变换的公式，以及三角函数的性质，即可求解． 【解析】 由题意，在中，若， 因为，可得或， 当时，可得，则， 可得， 因为，所以，所以； 当时，可得，则， 可得， 其中， 设在区间上单调递增，在上单调递减， 又由，， 所以，即， 综上可得，的取值范围是． 故选B． 【名师点睛】 解答与三角函数有关的范围问题的求解策略： （1）根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式； （2）熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解． 3．（2021上海交大附中模拟）对于定义在上的函数和，有下面几个命题： ①若，当n为奇数时，函数是奇函数； ②若，当n为偶数时，函数是偶函数： ③存在正奇数n和奇函数，满足对任意的x，都有； ④存在正偶数n和偶函数，满足对任意的x，都有； ⑤存在正整数n，使得与均为单调函数，其中，． 其中真命题的个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】 根据函数的奇偶性进行判断．特称命题可以举一例说明． 【解析】 在中，， 当为奇数时，，是奇函数，①正确； 为偶数时，，是偶函数，②正确； 令，，则，③正确； 若，则，为奇函数，不可能为偶函数，④错误； 取，，，均为增函数，且，．⑤正确． 正确命题有4个． 故选C． 【名师点睛】 本题主要考查函数的奇偶性，注意对于复合函数的奇偶性的表述．如只要证明，即得是奇函数．本题考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力，属于难题． 4．（2021上海高三模拟）若不等式，对于成立，则，分别等于（ ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】 设，根据三角函数值的符号，求得函数符号的变化，根据函数的单调性与对称性，求得的值，即可求解． 【解析】 由，则， 当或时，即或时，， 当时，即时，， 所以当或时，， 当时，， 设函数，则在上单调递增，在上单调递减， 且函数的图象关于直线对称，所以， 所以，解得， 又由，解得， 所以，． 故选D． 【名师点睛】 本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，根据三角函数的符号，求得函数的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于较难题． 5．（2021上海青浦区·高三二模）已知函数，关于x的方程有以下结论： ①当时，方程在最多有3个不等实根； ②当时，方程在内有两个不等实根； ③若方程在内根的个数为偶数，则所有根之和为； ④若方程在根的个数为偶数，则所有根之和为． 其中所有正确结论的序号是（ ） A．②④ B．①④ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】 先研究在，内的图象，求其值域，进而研究方程两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正