选择题压轴题 专题2 数列-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（上海专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学选择题压轴题【上海版】 专题2 数 列 1．（2021上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知数列满足，，若为周期数列，则的可能取到的数值有（ ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】B 【分析】讨论出当分别取、、、、时，数列为周期数列，然后说明当时，分为正奇数和正偶数两种情况分析出数列不是周期数列，即可得解． 【解析】已知数列满足，． ①若，则，，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列； ②若，则，，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列； ③若，则，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列； ④若，则，，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列； ⑤若，则，，，，，，以此类推，可知对任意的且，，此时，不是周期数列； ⑥若，则，，，，以此类推，可知对任意的，， 此时，为周期数列； ⑦若，则，，，，，以此类推，可知对任意的且，，此时，不是周期数列； ⑧若，则，，，，，以此类推，可知对任意的且，，此时，不是周期数列． 下面说明，当且时，数列不是周期数列． （1）当且时，由列举法可知，数列不是周期数列； （2）假设当且时，数列不是周期数列，那么当时． 若为正偶数，则，则数列从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列不是周期数列； 若为正奇数，则且为偶数， 由上可知，数列从第二项开始不是周期数列，进而可知数列不是周期数列． 综上所述，当且时，数列不是周期数列． 因此，若为周期数列，则的取值集合为．故选B． 【名师点睛】本题解题的关键是抓住“数列为周期数列”进行推导，对于的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决． 2．（2021上海市南洋模范中学高三期中）已知函数各项均不相等的数列满足．令．给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列使得；（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；（3）若数列是等差数列，则对恒成立，其中真命题的序号是（ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】由题意，函数是奇函数，只需考查函数在的性质，此时，都是增函数，∴在上也是增函数，即时，，对于（1），，即可判断；对于（2），运用等比数列求和公式和和三角函数的性质，即可判断；对于（3），运用等差数列求和公式，及不等式的性质，结合函数的单调性，即可判断； 【解析】由题意得，∴是奇函数，只需考查函数在的性质，此时，都是增函数，∴在上也是增函数，即函数在上也是增函数，设 若，则，，即 若，则，，即 ∴时，， 对于（1），取，，故（1）正确； 对于（2），，， 又 ， 令，则 ， 又，知，则，则， ， 又在上单减，，即，， ，即，则， 由的任意性可知，， 又，∴，故（2）正确； 对于（3），数列是等差数列，若，则； 若，即，又是奇函数也是增函数有，可得；同理： 若，可得； 若，可得；； 相加可得：若，可得，即； 同理若，可得，即，故（3）正确，故选D． 【名师点睛】关键点睛：本题考查真假命题的判断，关键是要理解新定义的函数的性质及应用，考查了函数的单调性与奇偶性的问题，考查了等差等比数列的性质与应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题． 3．（2021·上海徐汇区·位育中学高三开学考试）已知数列为有穷数列，共95项，且满足，则数列中的整数项的个数为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据题意有均为整数，转化为，不难发现当时均为非负整数，验证当、时和是否为整数． 【解析】由得， 要使为整数，必有均为整数，∴， 当时均为非负整数，∴为整数，共有14个， 当时，，在中因数2的个数为 ， 同理计算可得因数2的个数为82，因数2的个数为110，故中因数2的个数为， 从而是整数，当时，，同理中因数2的个数小于10，从而不是整数， 因此，整数项的个数为，故选C． 【名师点睛】利用二项式定理解决整除问题的思路： （1）要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开； （2）用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开．但要注意：余数的范围，，其中余数是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负 4．（2021·上海市实验学校高三开学考试）单调递增的数列中共有项，且对任意，和中至少有一个是中的项，则的最大值为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】假设是中大于0的最大的4项，由题意得和中