选择题压轴题 专题1 函数-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（上海专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学选择题压轴题【上海版】 专题1 函 数 1．（2021上海市南洋模范中学高三期中）已知函数各项均不相等的数列满足．令．给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列使得；（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；（3）若数列是等差数列，则对恒成立，其中真命题的序号是（ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】由题意，函数是奇函数，只需考查函数在的性质，此时，都是增函数，∴在上也是增函数，即时，，对于（1），，即可判断；对于（2），运用等比数列求和公式和和三角函数的性质，即可判断；对于（3），运用等差数列求和公式，及不等式的性质，结合函数的单调性，即可判断； 【解析】由题意得，∴是奇函数，只需考查函数在的性质，此时，都是增函数，∴在上也是增函数，即函数在上也是增函数，设 若，则，，即 若，则，，即 ∴时，， 对于（1），取，，故（1）正确； 对于（2），， 又 令，则 又，知，则，则， ， 又在上单减，，即， ，即，则， 由的任意性可知，， 又，∴，故（2）正确； 对于（3），数列是等差数列， 若，则； 若，即，又是奇函数也是增函数有，可得；同理： 若，可得； 若，可得； 相加可得：若，可得，即； 同理若，可得，即，故（3）正确，故选D． 【名师点睛】关键点睛：本题考查真假命题的判断，关键是要理解新定义的函数的性质及应用，考查了函数的单调性与奇偶性的问题，考查了等差等比数列的性质与应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题． 2．（2021上海长宁区·高三二模）在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线、轴以及直线所围成的曲边区域面积的一种方法：把区间平均分成份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上（如图），则当时，这些小矩形面积之和的极限就是．已知．利用此方法计算出的由曲线、轴以及直线所围成的曲边区域的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于与互为反函数，画出的图象，所求的曲边区域的面积等于图中阴影部分的面积，再通过对区间进行分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出抛物线、轴及直线所围成的曲边区域面积，即可得出阴影部分的面积，即可得出曲线、轴及直线所围成的曲边区域的面积． 【解析】由于与互为反函数， 可知，所求的曲边区域的面积等于下图中阴影部分的面积， 根据题意，抛物线、轴及直线所围成的曲边区域面积， 可知这些小矩形的底边长都是，高依次为， ， ∴阴影部分的面积为：， 即曲线、轴及直线所围成的曲边区域的面积为：． 故选D． 【名师点睛】本题考查类比推理和定积分的概念，通过对区间进行分割、近似代替、求和、取极限的方法求曲边区域的面积，考查化归转化思想和计算能力． 3．（2021徐汇区·上海中学高三期中）给出下列命题： （1）若对任意恒成立，且是奇函数，则函数也是奇函数； （2）若对任意恒成立，且是周期函数，则函数也是周期函数； （3）若对任意不相等的实数、恒成立，且是上的增函数，则函数与函数也都是上的单调递增函数； （4）若对任意恒成立，且在上有最大值和最小值，则函数在上也有最大值和最小值； 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】（1）根据已知条件，依据函数的奇偶性，周期性的定义，不难证明AB正确；根据函数单调性的定义，结合不等式的性质可以证明C；根据已知条件和f(x)既有最大值又有最小值的定义，利用不等式的基本性质，可以证明g(x)既有最大值又有最小值． 【解析】对于（1），取，则，∵是奇函数，，∴，为奇函数； 对于（2）设f(x)的周期为T(T>0)，取，则，∵以T为周期，，∴，为以为周期； 对于（3）设， 是上的增函数，∴，即为即为，， 函数与函数也都是上的单调递增函数； 对于（4）在上有最大值和最小值，∴存在，使得对于任意实数恒成立，∴， 即①，②，③，④． ①+③得， 即； ②+④得， 即， 由可知函数在上也有最大值和最小值； 综上，真命题的个数为4，故选D． 【名师点睛】本题考查命题的真假判定，涉及函数的奇偶性，单调性，周期性，最值，不等式和绝对值不等式，属于难题．关键在于将奇偶性、周期性、单调性和最大值最小值的定义与已知不等式相结合，利用不等式的基本性质进行推导和论证． 4．（2021上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知，若对于任意，总存在正数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数为奇函数，由推导出有解，求得的取值范围，进而可求得正实数的取值范围． 【解析】当时，函数的定义域为，，∴函数为奇函数． ，则函数在区间和上均为增函数， 若且，即