填空题压轴题 专题5 立体几何-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（上海专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【上海版】 专题5 立体几何 1．（2021上海嘉定区·高三一模）在△中，，，，将△绕边所在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为___________． 【答案】 【分析】 易得旋转后得到的几何体是一个以AB为半径，以AC为高的圆锥，再求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【解析】 如图所示： ∵在△中，，，， ∴所得圆锥的底面半径为，高为，母线为， ∴其侧面积为， 故答案为： 2．（2021·上海金山区·高三一模）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，以这3个点为顶点构成的三角形的周长为18，则此球的半径为___________． 【答案】6 【分析】 设三点A、B、C，为球心，根据题意为等边三角形，由三角形周长可求得的边长，利用球面距离的概念可得，从而可得，从而得球半径． 【解析】 设球的半径为， 如图所示，设三点A、B、C，为球心，． 又∵，∴是等边三角形，同样，、都是等边三角形， 得为等边三角形，由三角形的周长为18得， ∴球的半径， 故答案为：6． 3．（2021上海杨浦区·高三期中）是直角三角形所在平面外一点，已知三角形的边长，，，，则直线与平面所成角的余弦值为_____； 【答案】 【分析】 设在底面的投影，则O为的外心，为所求线面角的平面角，解三角即可求解． 【解析】 由题意得，在底面的投影为的外心， 则底面，且O为三条中垂线的交点， ∴， 又为直线与平面所成角， ． 故答案为：。 4．（2021上海市复兴高级中学高三期中）如图，已知三棱锥，点P是的中点，且，过点P作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为_________． 【答案】6 【分析】 设AB、BC、VC的中点分别为D、E、F，连接DE、EF、PF、PD，则可证明截面EFPD就是所求平面，根据中位线的性质，即可求得答案． 【解析】 设AB、BC、VC的中点分别为D、E、F，连接DE、EF、PF、PD，如图所示 ∵D、E分别为AB、BC的中点，∴， 同理P、D分别为VA、AB的中点，∴， 平面EFPD，平面EFPD， ∴平面EFPD，平面EFPD， ∴截面EFPD就是所求平面， ∵，∴，， ∴截面EFPD的周长为2+2+1+1=6， 故答案为：6 5．（2021上海静安区·高三月考）已知､是球心为的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为，，，则､两点的球面距离为_________． 【答案】 【分析】 由题意利用空间向量求出球心角，再求出球的半径，然后利用球面距离公式求解即可． 【解析】 由题意，球的半径， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴､两点的球面距离， 故答案为：． 【名师点睛】 本题主要考查空间向量的数量积的应用，考查球面距离公式． 6．（2021·上海市实验学校高三开学考试）如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为___________． 【答案】 【分析】 由主视图、俯视图得到三棱柱的侧视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，从而可得结果． 【解析】 由三视图得到三棱柱的侧视图为以底面正三角形的高为一边，以棱柱高为另一边的矩形， ∴侧视图的面积为，故答案为 ． 【名师点睛】 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响． 7．（2021上海市杨浦高级中学高三月考）如图，正方体，则直线与平面所成角的大小为___________．(结果用反三角函数表示) 【答案】 【分析】 可知即为直线与平面所成角，可求出，即可求出角． 【解析】 如图，连接， 可知在正方体中，平面， 即为直线与平面所成角， 是正方体棱长为1，则， ， ．故答案为：． 【名师点睛】本题考查线面角的求法． 8．（2021上海杨浦高中高三上学期9月月考）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________． 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值． 【解析】，，， 由勾股定理得， 同理得，， 在中，，，， 由余弦定理得， ， 在中，，，， 由余弦定理得． 故答案为：． 【名师点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题． 9．（2021上海浦东新区·华师大二附中高三期中）已知地球半径为6371公里，则在东经30