填空题压轴题 专题4 解析几何-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（上海专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学解答题压轴题【上海版】 专题4 解析几何 1．（2021上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点为坐标原点，则的最大值为________ 【答案】 【分析】设点的坐标为，则，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值． 【解析】设点的坐标为，则，则，可得， 椭圆的左焦点为，，， 则， 二次函数在区间上单调递增，∴． 因此，的最大值为．故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆中向量数量积最值的求解，考查了椭圆有界性以及二次函数基本性质的应用，考查计算能力． 2．（2021上海市嘉定区第二中学高三期中）双曲线与双曲线：有共同的渐近线，且过点，则双曲线的方程为___________． 【答案】 【分析】利用已知条件设出双曲线方程，把代入求解即可． 【解析】由双曲线与双曲线：有共同的渐近线， 可设， 又过点， 可得：， 故，故答案为：． 3．（2021·上海市实验学校高三开学考试）设点、均在双曲线：上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】由向量的运算即可得到，再根据双曲线的性质即可求解． 【解析】为的中点， ． 故答案为：． 4．（2021·上海高一单元测试）已知函数，若函数的所有零点依次记为且，，若，则__________． 【答案】 【解析】 由题意，令，解得． ∵函数的最小正周期为，， ∴当时，可得第一个对称轴，当时，可得． ∴函数在上有条对称轴 根据正弦函数的图象与性质可知：函数与的交点有9个点，即关于对称，关于对称，…，即，，…，． ∵ ∴ ∴ 故答案为． 点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到与的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错． 5．（2021·上海金山区·高三一模）已知是椭圆的两个焦点，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为_________． 【答案】20 【分析】 由椭圆定义得周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF2B的周长 【解析】 ∵F1，F2为椭圆的两个焦点， ∴|AF1|+|AF2|＝10，|BF1|+|BF2|＝10， △AF2B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝10+10＝20； 故答案为20 【点睛】 本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化． 6．（2021·上海金山区·高三一模）已知实数､､成等差数列，则点到直线的最大距离是___________． 【答案】 【分析】 根据题意，过点作直线的垂线，为垂足，分析可得直线恒过定点，又由恒过定点，分析可得为直角三角形，即可得的轨迹，结合点与圆的位置关系可得答案． 【解析】 根据题意，过点作直线的垂线，为垂足， 若，，成等差数列，即， 则直线为，即，恒过定点 又由垂直于直线，故为直角三角形， 则的轨迹是以为直径的圆，即， 则点到直线的距离即的长，其最大值为， 故答案为：． 【点睛】 关键点睛：由推出直线过定点是解题的关键． 7．（2021上海浦东新区·华师大二附中高三期中）若点是抛物线的弦的中点，则直线的方程为___________ 【答案】 【分析】 由中点知直线斜率存在，利用点差法求得斜率，然后确定直线AB的方程即可． 【解析】 由题意可知，当AB垂直于x轴时，不符合题意，故直线AB的斜率存在． 设，，则①，②， 且，， ①－②得， 即，即， 故直线AB的斜率， 故直线AB的方程为，即． 故答案为：． 8．（2021上海浦东新区·华师大二附中高三期中）设是直线与椭圆在第二象限内的交点，则___________ 【答案】 【分析】 当时，直线趋近于直线，与椭圆在第二象限交于，表示点与点连线的斜率，则实际上就是椭圆上点处切线的斜率，即可求出． 【解析】 当时，直线趋近于直线， 联立解得直线与椭圆在第二象限内的交点为， 表示点与点连线的斜率， 当时，无限趋近于点， ∴实际上就是椭圆上点处切线的斜率，设斜率为k， 则切线为代入椭圆得， 则，解得， ． 【点睛】 本题考查极限在解析几何中的应用，解得的关键是得出实际上就是椭圆上点处切线的斜率． 9．（2021上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知a，b，c＞0，直线与直线互相垂直，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】 由直线垂直可得斜率相乘为，可得，可知关于的方程有解，利用判别式即可求出． 【解析】 直线与直线互相垂直， ，即， 整理可得， a，b，c＞0，∴上式