填空题压轴题 专题3 三角-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（上海专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【上海版】 专题3 三 角 1．（2021上海市金山中学高三期中）在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最大值为________． 【答案】3 【解析】由得 ， ∴由得 ，又为线段上的点，且， ∴ ， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为3． 2．（2021上海市奉贤区曙光中学高三期中）矩形ABCD最后，AB＝2，BC＝1，直线l交线段AB于点E，交线段CD于点F，若线段AB上存在一点P，P关于直线l的对称点Q旗号在线段DF上，设∠FEB＝θ，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】题可知直线l始终为线段的中垂线，变化线段到临界位置，变化直线l到临界位置，分别可得的最值． 【解析】由题可知直线l为线段的中垂线， 与互为余角； 如图1，当取得最小值时（即与对角线重合），取得最大， 此时， 如图2，当直线l 与矩形对角线重合时，取得最小值，此时 ， 综上，，故答案为：． 【名师点睛】此题需要分析出线与线之间的关系，在变化中寻找临界值，属于能力要求较高的题． 3．（2021上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知函数定义在上的偶函数，在是增函数，且恒成立，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】由题意可得出，可知方程与方程同解，可解得，，进而由所求不等式得出，再由，，可得出，即可得出原不等式的解集． 【解析】由于函数定义在上的偶函数，在是增函数， 由可得，∴， 解方程可得，， 令，则，， ∴，是方程的两根， 由韦达定理可得，解得， 由可得，∴， ∵，，∴，解得．故答案为：． 【名师点睛】对于求值或求解函数不等式的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题，若为偶函数，则． 4．（2021·上海市实验学校高三开学考试）对任意闭区间，用表示函数在上的最大值，若有且仅有一个正数使得成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】讨论的范围得出的表达式，求出的值域即可． 【解析】①当时，， 由，得，∴， 此时，即，则，即； ②当时，， 由，得，此时，即． ③当时，， 由，得，∴， 此时，则，即； ④当时，，则， 由，得不成立，此时不存在； ⑤当时，， 由，得，∴， 此时，则，即； ⑥当时，，由，得， 综上，由有且仅有一个正数使得成立，实数的取值范围是． 【名师点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论的范围，根据的不同取值范围得出的表达式，再利用三角函数的性质求解． 5．（2021宝山区·上海交大附中高三月考）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于2020，则满足条件的所有整数k的值是______． 【答案】1006或1007． 【分析】由题意可得函数的图像与函数的图像所有交点成对出现， 且每一对关于点对称，结合所有横坐标之和等于2020即可得到k的值． 【解析】函数的图像关于点对称，函数的图像也关于点对称，如图所示： 故函数的图像与函数的图像所有交点成对出现， 且每一对关于点对称， ∵两个图像的所有交点的横坐标之和等于2020，当时，它们共有1010对交点， ∴或，解得或．故答案为：1006或1007． 【名师点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，考查学生的数形结合思想． 6．（2021上海市建平中学高三月考）已知的面积为3，，为所在平面内异于点的两个不同的点，若且，其中，则的面积为______． 【答案】3 【分析】先得到和，最后表示出并转化求值即可． 【解析】∵，∴，即 ∵，∴ ∴，∴， ∵，∴，∴， ， ∵的面积为3，∴， ， ∴的面积是3，故答案为：3． 【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，三角形的面积公式． 7．（2021上海青浦区·高三二模）已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，则的三个顶点的横坐标之和为_____________． 【答案】 【分析】设点，则可得，，，不妨设，且直线的倾斜角为，可得，然后利用算出答案即可． 【解析】设点， 则，，， 不妨设，且直线的倾斜角为， ∵是等边三角形，∴， ∴ ， 故答案为：． 【名师点睛】本题以抛物线为载体，考查了直线的斜率和三角函数的和差公式，属于较难题． 8．（2021上海市七宝中学高三期中）用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则a的最大值为________． 【答案】 【分析】分类讨论，根据正弦函数的图象与性质求出、，代入不等式求解a的取值范围即可． 【解析】①当时，， 若，则，此时不成立； ②当时，， 若，则，又，解得； ③当时，， 若，则，又，解得； ④当时，，，，不符合题意． 综上所述，，即a的最大值为．故答案为：． 【名师点睛】本题