填空题压轴题 专题2 数列-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（上海专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【上海版】 专题2 数 列 1．（2021上海市行知中学期中）设数列的前项和为，，()，(，)．且､均为等差数列，则_________． 【答案】 【分析】 根据已知条件知数列是首项为，公差为的等差数列，可求出，再根据已知条件转化求出等差数列､的通项公式，再利用分组求和即可得解． 【解析】 又，即 数列是首项为，公差为的等差数列，①， 又分别构成等差数列，根据①式可得 ②， ③， ④， 由②+③，得， 又是等差数列，∴必为常数， ∴， 或， 由①得，即， ，，又， ，即或(舍去)， ， 是首项为1，公差为的等差数列，， 同理，由③+④得，， ∴或， ，，， 即或(舍去)， ， 是首项为a，公差为的等差数列，， 从而， ∴． 故答案为： 【名师点睛】 方法点睛：本题考查递推关系求等差数列求通项公式，分组求数列和，求数列的和常用的方法有： （1）分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题． 2．（2021上海市洋泾中学高三期中）已知公比大于的等比数列满足，记为在区间中的项的个数，的前项和为，则 __________． 【答案】 【分析】 先求出，再由特殊到一般，归纳出时，，从而可得，最后利用错位相减法可得结果． 【解析】 设的公比为，由 得或（舍去） ∴ 在区间上，， 在区间上上，个1 在区间上，，个2 在区间上，，个3， … 归纳得当时， ∴ 令 则 两式相减，整理得 ∴ 故答案为： 【名师点睛】 方法点睛：“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以． 3．（2021·上海市建平中学期末）设数列的前n项和为，则__________． 【答案】 【分析】先算出，从而可求， 【解析】∵，故， 故． 故答案为：． 【名师点睛】 方法点睛：求数列极限时，要注意利用常见的数列极限来求解，如，还要注意合理变形，从而可以利用常见极限． 4．（2021上海黄浦区·格致中学期中）已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为____． 【答案】 【分析】 推导出对任意的时，取最大值时，为等比数列，求出该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得的最大值． 【解析】 ∵数列满足，， ∴，可得，，则． 易得当时，，则、、、均为正数， 由可知，可得数列为单调递增数列， 当取最大值时，，可得， ∴对任意的，取最大值时，数列为等比数列，且该数列的公比为，首项为． 因此，的最大值为． 故答案为：． 【名师点睛】 关键点点睛：本题考查数列和的最值，解题的关键就是结合题意推导出当中的每一项均取最大值时，为等比数列，在推导时可充分利用数学归纳法来进行推导． 5．（2021上海虹口区·高三一模）已知数列满足，且(其中为数列前项和)，是定义在上的奇函数，且满足，则___________． 【答案】 【分析】 首先求出函数的周期性，再利用构造法求出数列的通项公式，即可得到，再根据二项式定理判断被除的余数，即可计算可得； 【解析】 解：∵是定义在上的奇函数，且满足 ∴， ∴的最小正周期为 又∵数列满足，且①； 当时，②； ①减②得，∴， ∴以为首项，为公比的等比数列，∴，即 ∴ 又 ∴被除余 ∴ 故答案为：0 【名师点睛】 本题考查函数的周期性的应用，若存在非零常数，若对定义域内任意的都有，则为函数的周期。 6．（2021上海市建平中学高三期中）已知首项为的数列满足，若对任意正整数恒成立，则实数的最大值为___________________． 【答案】 【分析】 推导出，利用不等式的基本性质以及累加法可得出，结合已知条件可得出对任意的且恒成立，结合参变量分离法可求得实数的最大值，再利用数学归纳法说明当时，恒成立，由此可得出结果． 【解析】 且，对任意的，， ∴， 可得出，，，， 上述不等式全加得，， 当时，； 当且时，若恒成立，则， ∴， 由于，． 当时，则且，可得，，，进而可知，对任意的，， ，即，可得， 假设当时，，则当时，， 由上可知，对任意的，恒成立． 因此，实数的最大值为． 故答案为：． 【名师点睛】 关键点点睛：解决本题的关键在于以下两点： （1）推导出； （2）在求解数列不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离以及数单调性求解． 7．（2021上海市南洋模范中学高三期中）已知多边形，的顶点都在抛物线F：上，若的横坐标为为所在直线的斜率(，，，)，则=_____． 【