填空题压轴题 专题1 函数-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（上海专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【上海版】 专题1 函 数 1．（2021上海闵行区·高三一模）已知函数，给出下列命题：①存在实数，使得函数为奇函数；②对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称；③若对任意非零实数，都成立，则实数的取值范围为；④存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点．其中的真命题是___________．（写出所有真命题的序号） 【答案】②③ 【分析】利用特殊值法可判断①不正确；验证，可判定②正确；利用基本不等式可判定③正确；当时，分析出函数在上现递减再递增，即，可得出，利用不恒成立，可判定④错误，同理可得，当时，命题④也不成立，从而得到④为假命题． 【解析】由题意，令， 函数的定义域为，则， ∴函数为偶函数． 对于①，若，则 ，则，此时函数不是奇函数； 若，则函数的定义域为且，， ，显然． 综上所述，对任意的，函数都不是奇函数； 对于②，， ∴函数关于直线对称． 因此，对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称，∴②正确； 对于③，，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ∴， ∵，当时，两个等号可以同时成立，∴． 因此，实数的取值范围是，③正确； 对于④，假设存在实数，使得直线与函数的图象有6个交点， 若，当时， ， 此时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 当时，； 当时，任取，且，即， 则 ， ∵，随着的增大而增大， 当且时，， 当且时，， ∴，使得当时，， 则，∴函数在区间上单调递减； 当时，，则， ∴函数在区间上单调递增， ∴当时，． 若存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点， 即直线与函数的图象有6个交点， 由于函数的图象关于直线对称， 则直线与函数在直线右侧的图象有3个交点， ∴． 由于为定值，当且当逐渐增大时，也在逐渐增大， ∴不可能恒成立， ∴当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数 均存在6个零点； 同理可知，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点，故命题④错误．故答案为：②③． 【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法： 1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围； 2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围． 2．（2021上海奉贤区·高三一模）已知是奇函数，定义域为，当时，（），当函数有3个零点时，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先根据函数 的单调性和端点值画出函数的图象，再根据函数的性质画出函数的图象，根据数形结合求的取值范围． 【解析】当时，易知函数单调递减，且时，，时，，其大致图象如下， 在的大致图象如下， 又函数是定义在上的奇函数，故函数的图象如下， 要使函数有3个零点，只需函数的图象与直线有且仅有3个交点， 由图象可知，．故答案为：． 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1．直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍． 3．（2021上海虹口区·高三一模）已知数列满足，且(其中为数列前项和)，是定义在上的奇函数，且满足，则___________． 【答案】 【分析】首先求出函数的周期性，再利用构造法求出数列的通项公式，即可得到，再根据二项式定理判断被除的余数，即可计算可得； 【解析】，是定义在上的奇函数，且满足， ∴，，∴的最小正周期为， 又∵数列满足，且①； 当时，②； 1 减②得，∴， ∴以为首项，为公比的等比数列，∴，即，∴， 又，∴被除余， ∴，故答案为：0． 【点睛】本题考查函数的周期性的应用，若存在非零常数，若对定义域内任意的都有，则为函数的周期． 4．（2021上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知函数定义在上的偶函数，在是增函数，且恒成立，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】由题意可得出，可知方程与方程同解，可解得，，进而由所求不等式得出，再由，，可得出，即可得出原不等式的解集． 【解析】由于函数定义在上的偶函数，在是增函数， 由可得， ∴，解方程可得，， 令，则，， ∴，是方程的两根， 由韦达定理可得，解得， 由可得，∴，