解答题压轴题 专题2 数列与不等式-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（上海专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学解答题压轴题【上海版】 专题2 数列与不等式 1．（2021上海奉贤区·高三一模）已知数列满足恒成立． （1）若且，当成等差数列时，求的值； （2）若且，当、时，求以及的通项公式； （3）若，，，，设是的前项之和，求的最大值． 【答案】（1） ；（2），；（3） 【分析】（1）根据等差数列的定义以及等差中项的性质即可求的值； （2）分别令递推公式中的和得出两个关系式，结合、即可求，再求出是等比数列求出其通项，再利用累乘法即可求的通项公式； （3）利用分组求和可得，结合，，求出利用基本不等式求最大值，即可求出的最大值． 【解析】（1）若且，∴，即， 当成等差数列时，， ∴，解得： ； （2）， 令可得，即， 令可得，即 ∴，∵，∴，解得， 由可得， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴， ， ， ， 以上式子累乘得： ， ∴， （3）由可得， ∴， ∵，∴，即， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴即， ， ∵，，∴，∵，∴， ∴，可得， ∴， 令，设， ，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增， ∴时取得最大值，故最大值为， ∴最大值为． 【点睛】 方法点睛：数列求和的方法 （1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法 （2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求； （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减； （5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解． 2．（2021上海市建平中学高三期中）已知数列满足：对任意，都有或，其中数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公比的等比数列． （1）若，求的值； （2）若， ，证明：数列不为递增数列； （3）已知，，，设为数列的前项和，若存在常数，对任意都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3），． 【分析】 （1）从进行分类讨论，确定的值； （2）验证，和，或，三种情况下，数列均不为递增数列，即可得证； （3）对实数进行分类讨论，结合不等式的放缩和等比数列求和公式进行求解． 【解析】 （1）①当时，为常数列，∴， ②当时，为常数列，∴， ③当且，要使得，则，必在，交替出现， 即，，， ∴，矛盾， 综上，； （2）①若，则数列是递减数列，即数列不为递增数列； ②若，∵，∴正负交替出现，∴不为递增数列； ③若，或，则若是递增数列， 则，必在，中交替出现， 设，，则， ∵，∴必定存在正整数，当时，， 而正负交替出现，∴不恒成立，矛盾， 综上，数列不为递增数列； （3）①当时，，均不减，∴显然不成立， ②当，时，令， ， 故存在常数，使得恒成立， ③当时，令，则，，，， ∴，，，， 即，， 故存在常数，使得恒成立 ④当时，假设存在常数，使得恒成立， 则，，∴， 当，，即，时， ，矛盾， 综上所述，，． 【点睛】 本题综合性较强，其核心思想是分类讨论；核心知识点主要有：（1）等差数列的通项公式；（2）等比数列的通项公式；（3）等比数列的求和公式时，． 3．（2021上海市洋泾中学高三期中）已知项数为的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”． （1）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”若不存在，请说明理由； （2）若为的“伴随数列"，证明： ； （3）已知数列存在“伴随数列，且，求的最大值． 【答案】（1）存在， ；（2）证明见解析；（3）33． 【分析】 （1）根据定义求出即可； （2）证明即可得； （3）首先证明的伴随数列是在在的，最小的，然后确定的范围求的最大值，由（2）由（2）知，，利用累加法可得，得出，从而（是整数），又由知是2048的正约数，这样得出的最大值为33，构造数列，它存在伴随数列，从而得证． 【解析】 （1）∵， ，，均为正整数 ∴数列存在“伴随数列”，且其“伴随数列”为 （2）∵数列存在“伴随数列”， ∴，且 ∴， ∴，即， ∴． （3）①∵，其中 当时，有 ，均为正整数 即当时，数列存在“伴随数列”： 因此的最小值为 ②一方面，由（2）知， 于是 ∴ 另一方面，由数列存在“伴随数列，知 ∴是的正约数，取 即取 综合上述为最大值，取有 符合条件 因此的最大值为． 【点睛】 关键点点睛：本题考查数列的新定义，解题关键是理解新定义，应用新定义求解．在求的最大值时，注意数列与不等