解答题压轴题 专题1 解析几何-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（上海专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学解答题压轴题【上海版】 专题1 解析几何 1．（2021·上海黄浦区·高三一模）定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆．设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定圆的方程为． 【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆的方程； （2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求； （3）设，则，讨论有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求，，，由等面积法求，即可证结论，并写出定圆方程． 【解析】（1）由椭圆，知． 根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆． （2）设，则． 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线． 若，由，解得，此时． 若，同理得：． ②当直线的斜率存在时，设． 由，得，有，又直线是圆的切线，故，可得． ∴，则，而． ∴，即． 综上，恒有． （3）是椭圆上的两个动点且，设，则． 直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论． 若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有． ∴，，且， 由，解得． 若直线的斜率都存在，设，则． 由，得，有；同理，得． 于是，． 由，可得． 因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上． ∴该定圆的方程为圆． 【点睛】 关键点点睛：研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线． 2．（2021·上海松江区·高三一模）已知椭圆Γ：的右焦点坐标为，且长轴长为短轴长的倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点和， （1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线l经过点，且的面积为，求直线l的方程； （3）若直线l的方程为，点关于x轴的对称点为，直线，分别与x轴相交于P､Q两点，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析． 【分析】 （1）根据题意，结合的关系即可求得椭圆的方程；（2）设出直线l的方程为，与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出的面积并等于，求解的值，即可得直线l的方程；（3）由已知得的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线的方程，令，求出，即可得，并根据直线方程求出，然后相乘代入化简即可． 【解析】 （1）由题意得，， 解得，，∴椭圆Γ的方程为． （2）设点，的坐标为､，由题意可知，直线l的斜率存在 设直线l的方程为． 由方程组，得 ∴， 解得．∴直线l的方程为 （3）由题意知点的坐标为 将，代入 得：， ∴， 对于直线，令得∴ 对于直线：，令 得 ，∴ ． 【点睛】 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 3．（2021·上海金山区·高三一模）已知点在抛物线上，过点作圆()的两条切线，与抛物线分别交于､两点，切线､与圆分别相切于点､． （1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且时，求的值； （3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围． 【答案】（1）或；（2）；（3）． 【分析】 （1）设出点的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得点坐标． （2）先求得和，然后结合向量数量积运算求得． （2）设出过的圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，化简写出根与系数关系，联立切线和抛物线的方程，求得的纵坐标，由此求得线段中点的纵坐标的表达式，进而求得的取值范围． 【解析】 （1）设点的坐标为， 则，解得或， 即点的坐标为或； （2）当点的坐标为，且时，， 在直角三角形中，，且， 同理，，且， 从而； （3）由题意知切线､的斜率均存在且不为零，设切线方程为， 由，得， 记切线､的斜率分别为､，则， 由于切线､的方程分别为､， 联立，消去，得， 设､，则，故， 同理，，于是， ∵，∴，． ∴． 即的取值范围是． 【点睛】 直线和圆相切的问题，可以利用圆心到直线的距离等于半径列方程． 4．（2021·上海市实验学校高三开学考试）已知曲线的方程为． （1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标