选择题压轴题 专题4 导数（解析版）-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（北京专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学选择题压轴题【北京版】 专题4 导 数 1．（2021北京昌平区高三二模）点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】要满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则需要直线与函数y＝ex的图象相交，而且点P在函数y＝ex的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题． 【解析】过函数y＝ex的图象上点P（x0，y0）作切线，使得此切线与直线y＝x+a平行 y′＝ex，于是，则x0＝0，y0＝1，∴P（0，1）， 于是当点P到直线y＝x+a的距离为时，则满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个， ∴，解得a＝﹣1或a＝3， 又当a＝﹣1时，函数y＝ex的图象与直线y＝x﹣1相切，从而只有两个点到直线距离为，∴不满足，故a＝3，故选C． 【名师点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大． 2．（2021·北京东城区·高三一模）如图，将线段用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线，那么下列说法正确的是（ ） A．存在曲线满足要求 B．存在曲线满足要求 C．若曲线和满足要求，则对任意满足要求的曲线，存在实数，使得 D．若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求 【答案】D 【分析】由图可得直线AB的斜率和直线CD的斜率， 对于A：求导，由已知得时，，当时，，代入，解出，求得曲线y的解析可得点不在曲线上； 对于B：求导，根据切线的斜率和曲线所过的点建立方程组，可得方程组中a，b不可解，确； 对于C：由已知得和，代入得有，需满足，可判断C选项； 对于D：当时， ，可判断D选项． 【解析】由图知点，∴直线AB的方程为，直线CD的方程为，∴， 对于A：曲线的导函数为，由图象知当时，，当时，，代入中得 ，∴，而，∴点不在曲线上，故A不正确； 对于B：曲线的导函数为， 当时，，当时，，代入得 ，即，又由，得，方程组中a，b不可解，故B不正确； 对于C：根据条件存在无数个多项式函数满足题意，但多项式之间不一定有线性关系，故C不正确； 对于D：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故D正确，故选D． 【名师点睛】方法点睛：解决函数的切线问题常运用在其切点的导函数与在该切点的切线的斜率相等的曲线的导函数的几何意义求解． 3．（2021北京昌平区·临川学校高三月考）若函数在单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据函数在单调递增得出当时，然后根据当时得出，再然后令，，则以及，最后根据函数在上的单调性即可得出结果． 【解析】∵，∴， ∵函数在单调递增， ∴当时， ∵当时，∴当时， 令，，则， 令，则，， ∵当时是增函数，∴当时，取最小值，最小值为， 故，的取值范围是，故选D． 【名师点睛】关键点点睛：本题考查根据函数在区间内的单调性求参数，考查导数的应用，将问题转化为不等式恒成立问题是解决本题的关键，用分离参数法解决恒成立问题时要注意参数系数正负号的讨论，考查计算能力． 4．（2021北京丰台区高三期中）已知函数和直线，那么“”是“直线与曲线 相切”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与曲线相切，求出，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论． 【解析】设函数和直线的切点坐标为， 则，可得， ∴时，直线与曲线相切； 直线与曲线相切不能推出． 因此“”是“直线与曲线相切”的充分不必要条件，故选． 【名师点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理． 5．（2021北京北师大二附中高三月考）函数的图象如图所示，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出，再根据的图象分析的取值情况，由此判断出结果． 【解析】∵，∴， 由图象可知：先减后增再减，∴先为负，再为正，最后又为负，∴， ∵为的两个极值点，且，∴，∴， 又∵，∴，故选C． 【名师点睛】易错点睛：分析函数与其导函数的关系时需注意： （1）的单调性和取值的正负相对应； （2）的极值点一定是的零点，但的零点却不一定是的极值点． 6．（2021北京朝阳区·高三期中）已