选择题压轴题 专题2 数列-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（北京专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学选择题压轴题【北京版】 专题2 数列 1．（2021·北京房山区·高三一模）已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ） A． B． C． D．与均为的最小值 【答案】C 【分析】根据推导出，，，结合等差数列的单调性与求和公式判断可得出合适的选项． 【解析】对于A选项，由可得，A选项正确； 对于C选项，由可得，，C选项错误； 对于D选项，由可得，且，，， ∴当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确； 对于B选项，，，当时，， ∴，B选项正确．故选C． 【点睛】方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法： （1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点到该项的各项和为最大（小）； （2）借助二次函数的图象及性质求最值． 2．（2021·北京西城区·高三一模）在无穷等差数列中，记，则“存在，使得”是“为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由，只能判断与的大小关系，无法证得为递增数列，充分性不成立；由递增数列性质知只需即可说明，必要性成立，由此得到结论． 【解析】若存在，使得，则， 当为奇数时，只需，即； 当为偶数时，只需，即； 即此时只能判断与的大小关系，无法得到为递增数列，充分性不成立； 当为递增数列时，， 只需，即为奇数，即可满足，必要性成立； “存在，使得”是“为递增数列”的必要不充分条件．故选B． 【点睛】关键点点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，解题关键是能够结合的表达式确定，分析确定与数列单调性之间的关系． 3．（2021·北京怀柔区·高三其他模拟）设等比数列的前n项和为，若，则下列式子中的数值不能确定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出公比的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前项和公式，即可找出四个选项中数值不能确定的选项． 【解析】∵，∴，∴，∴，，，∴,故选D. 4．（2021·北京海淀区·高三期中）设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．数列有最大项 D．数列有最小项 【答案】D 【分析】根据，可得或，再结合，即可确定数列在和内的单调性，从而可判断各选项的正误． 【解析】设无穷等比数列的公比为，∵，即，∴， 又，∴，即，又，∴或， ∵，∴当时， 数列是摆动数列，故单调性不确定，故A、B错误；又，∴；，此时数列的最小项为，最大项为，当时，数列是单调递增数列，此时数列的最小项为，无最大项．故C错误，D正确．故选D。 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了数列的单调性，关键是根据已知条件确定公比的范围及分类确定数列的单调性． 5．（2021·北京门头沟区·高三一模）数列中，，，数列满足，则数列的前n项和（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出和，根据等比数列的求和公式可得结果． 【解析】∵，，∴，∴数列是首项为，公比的等比数列，∴，∴，∴，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．故选C. 6．（2021·北京高三开学考试）等差数列的前项和为．已知，．记，则数列的（ ） A．最小项为 B．最大项为 C．最小项为 D．最大项为 【答案】C 【分析】根据题意求得等差数列的通项公式和前项和，得到，结合，可排除A、D，再求得数列的单调性，得到B不正确，C正确． 【解析】由题意，设等差数列的公差为， ∵，，可得， ∴，， 则，可得，∴，可排除A、D； 设，则， ∵，∴，∴在区间和上都是单调递增函数， 即当时，数列为递增数列，当时，数列也为递增数列，其中，例如当时，可得，∴B不正确，C正确．故选C． 【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略： （1）已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性； （2）解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决． 7．（2021·北京海淀区·高三期末）数列的通项公式为，，前项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得； ②存在正整数，使得； ③记则数列有最小项， 其中所有正确结论的序号是（ ） A．① B．③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】由，令，求得，得到，可判定①正确；由当时，，且单调递增，结合基本不等式，可判定②不正确；由，且当时，，且单调递增，可判定③正确． 【解析】由