选择题压轴题 专题1 函数及函数模型-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（北京专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学选择题压轴题【北京版】 专题1 函 数 1．（2021·北京延庆区模拟）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：驾驶员的血液中酒精含量为，不构成饮酒驾车行为（不违法），达到的即为酒后驾车，及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过（ ） （参考数据：） A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】D 【分析】根据题意求出经过小时后，他血液中酒精含量，再根据不构成酒驾行为的定义列式，利用指数函数的单调性，结合参考数据可求得结果． 【解析】依题意可知，在停止喝酒且经过小时后，他血液中酒精含量为， 要想不构成酒驾行为，必有，即， 因为为减函数，所以当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，所以要想不构成酒驾行为，那么他至少经过10小时． 故选D． 2．（2021·北京东城区·高三一模）如图，将线段用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线，那么下列说法正确的是（ ） A．存在曲线满足要求 B．存在曲线满足要求 C．若曲线和满足要求，则对任意满足要求的曲线，存在实数，使得 D．若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求 【答案】D 【分析】由图可得直线AB的斜率和直线CD的斜率， 对于A：求导，由已知得时，，当时，，代入，解出，求得曲线y的解析可得点不在曲线上； 对于B：求导，根据切线的斜率和曲线所过的点建立方程组，可得方程组中a，b不可解，确； 对于C：由已知得和，代入得有，需满足，可判断C选项；对于D：当时， ，可判断D选项． 【解析】由图知点，所以直线AB的方程为，直线CD的方程为，所以， 对于A：曲线的导函数为，由图象知当时，，当时，，代入中得解： ，所以，而，所以点不在曲线上，故A不正确； 对于B：曲线的导函数为， 当时，，当时，，代入得 ，即，又由，得，方程组中a，b不可解，故B不正确； 对于C：根据条件存在无数个多项式函数满足题意，但多项式之间不一定有线性关系，故C不正确； 对于D：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故D正确，故选D． 【点睛】方法点睛：解决函数的切线问题常运用在其切点的导函数与在该切点的切线的斜率相等的曲线的导函数的几何意义求解． 3．（2021·北京西城区·高三一模）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导分析单调性，根据即可解不等式． 【解析】的定义域为，由 所以在上递减，又，所以不等式的解集是． 故选D． 4．（2021·北京石景山区·高三一模）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出，在上的图象，当的图象在的图象的上方时，分析此时的取值范围即可． 【解析】作出，在上的图象如下图所示： 因为在上恒成立，所以的图象在的图象的上方（可以部分点重合）， 且，令，所以，所以，根据图象可知：当经过点时，有最小值，，当经过点时，有最大值，，综上可知的取值范围是，故选C． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用数形结合思想解决问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质． 5．（2021·北京怀柔区·高三其他模拟）形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n最小值是（ ）(取) A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据分形的变化规律，得出一条长为a线段n次分形后变为长为的折线，建立不等关系，利用对数求解即可． 【解析】设正三角形的一条边长为a，“一次分形”后变为长为的折线，“二次分形”后折线长度为，“n次分形”后折线长度为，所以得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，只需满足，两边同时取常用对数得：，即得：，解得，故至少需要17次分形，故选C． 【点睛】关键点点睛：仔细读题，弄懂分形变化的规律，即正三角形的一条边长为a，“一次分形”后变为长为的折线，“二次分形”后折线长度为，“n次分形”