填空题压轴题 专题6 立体几何-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（北京专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【北京版】 专题6 立体几何 1．（2021北京北师大实验中学高三月考）如图，定点A到平面a的距离为，B，C为平面内的两个动点，满足AB=2，AC=，给出下列四个结论： ①BC∈[2，4]； ②∠BAC可能为； ③在平面内，所有满足AB≤AP≤AC的点P所构成的区域的面积为9π； ④设点D为A在平面内的正射影，则三棱锥ABCD体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是_____________． 【答案】①② 【分析】 先找到点A在面上的投影，然后逐项分析即可． 【解析】 由题意，D是点A在面上的投影，又A到平面的距离为，B，C为平面内的两个动点，满足，由勾股定理可得 即点B是以点D为圆心，1为半径的圆上的点 点C是以点D为圆心，3为半径的圆上的点， 当B、C、D共线且在点D的同侧时，线段BC最短，长度为半径之差，为 当B、C、D共线且在点D 的异侧时，线段BC最长，长度为半径之和，为 故BC∈[2，4] ①正确； ∵BC∈[2，4]，∴， 若在中， ， ，故②正确； 在平面内，所有满足AB≤AP≤AC的点P所构成的区域环形圆面，其面积是大圆面与小圆面的面积之差 其值为 故③不正确； 当时，点B到边DC的距离最长，此时的面积最大，最大值是 又棱锥的高为，故三棱锥体积的最大值是 故④不正确． 综上，①②正确． 故答案为：①②． 【名师点睛】本题考查空间位置关系与距离，几何体体积的求法，圆与圆的位置关系，涉及到的知识点多，综合性强，考查了空间想像能力，难度较大，解答的关键是判断出B，C两点在变化中的相对位置． 2．（2021北京市海淀区教师进修学校月考）如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，，点为线段上一点，则最小值为_______． 【答案】 【分析】∵平面，∴，，根据 ，求出，，，又可化为，∴只需求出的最小值即可，即求直角三角形的斜边上的高即可得解． 【解析】如图： ∵平面，∴，， 设，则，，，， ∵，∴， ∴，即，解得， ∴，，， ∴， 当时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为，即的最小值为． 故答案为： 【名师点睛】 本题考查了长方体的结构特征，考查了直线与平面所成的角，考查了空间向量的数量积． 3．（2021·北京门头沟区·高三一模）在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是_________． 【答案】 【分析】 由题意，求出作出过的平面与平面平行，该平面即为动点M的轨迹所形成区域，求出该区域的面积即可． 【解析】 如图，边长为2的正方体中， 动点M满足平面， 由面面平行的性质可得 当始终在一个与平面平行的面内，即满足题意， 过作与平面平行的平面， 连接，，，平面平面， ∴． 故答案为：。 4．（2021·北京丰台区·高三一模）如图，从长、宽、高分别为的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥．下列四个结论中，所有正确结论的序号是_____． ①三棱锥的体积为；②三棱锥的每个面都是锐角三角形；③三棱锥中，二面角不会是直二面角；④三棱锥中，三条侧棱与底面所成的角分别记为，则． 【答案】①②④ 【分析】 三棱锥的体积为长方体体积减去4个三棱锥体积；利用余弦定理判断每个面是否为锐角三角形；建立空间直角坐标系判断平面的法向量是否垂直；结合线面夹角的定义求解即可． 【解析】 三棱锥的体积为，故①正确； 三棱锥的每个面的边长分别为， 设，则是三边中最大边，设其对应角为 则 ∴为锐角，故每个面为锐角三角形，②正确； 以为原点建立空间直角坐标系如图所示： 则 设平面的一个法向量为 则 取，则，则 设平面的一个法向量为 则 取，则，则 ∴ 取，有，则， ∴二面角会是直二面角，故③错； 三棱锥中，三条侧棱分别为与底面的夹角分别记为 则 ∴，故④正确， 故答案为：①②④ 【名师点睛】 方法点睛：判断两个平面是否垂直通常有两个方法： (1)几何法，利用面面垂直的判定定理； (2)空间向量法，判断两个平面的法向量是否垂直． 5．（2021·北京西城区高三期末）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为_______． 【答案】 【分析】 由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC，分别计算其棱长，可得答案． 【解析】 由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC，可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内，如下图所示， ∴：，BC=． ∴该三棱锥最长棱的长度为． 故答案为：． 【名师点睛】 方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略： (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示． (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知