填空题压轴题 专题5 解析几何-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（北京专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【北京版】 专题5 解析几何 1．（2021·北京海淀区·高三期末）已知圆，直线，点，点．给出下列4个结论： ①当时，直线与圆相离； ②若直线是圆的一条对称轴，则； ③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为； ④为圆上的一动点，若，则的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【分析】对于①：，，圆心，半径，直线与圆相离；对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理，，设．得到，但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④：为圆上的一个动点．若，设，利用参数方程解决即可． 【解析】对于①：当时，直线，圆心，半径，直线与圆相离，故表述①正确； 对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故，故表述②正确； 本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示： 设的中点为，以为直径作圆，连接．则 对于③：由垂径定理，，设． 一方面，若，则． 当且仅当，且三点共线时，等号成立，此时直线的斜率为． 另一方面，当时，直线． 故点到直线的距离．此时． 当且仅当为点在直线上的射影时等号成立，此时直线的斜率为． 对比发现，，但两处等号无法同时取到，矛盾．故表述③错误． 对于④：为圆上的一个动点．若，设， 则． 注意到， 故 当且仅当且点在点正上方时，等号成立．故表述④正确． 故答案为：①②④． 【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意图是解决问题的关键． 2．（2021·北京大兴区一模）已知曲线，，其中． ①当时，曲线与有4个公共点； ②当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积； ③，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积； ④，曲线围成的区域内整点（即横、坐标均为整数的点）个数不少于曲线围成的区域内整点个数． 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】当时，由可解得交点坐标，即可判断①；当时，可知，当取同一个值时，即可判断②；当时，，当与的方程中取同一个大于的数，可得即可判断③；分别讨论当和时的整数点比较可判断④，进而可得正确答案． 【解析】对于①：当时，曲线， ，令可得，当时，，当时，，∴与有4个公共点分别为，，，，共个，故①正确； 对于②：当时，由与的方程可知，当取同一个值时， ，，当时，，∴， ∴曲线围成的区域面积小于曲线围成的区域面积；故②不正确； 对于③：当时，，当与的方程中取同一个大于的数，可得，∴，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；故③正确； 对于④：当时，曲线围成的区域内整点个数等于曲线围成的区域内整点个数，当时，取同一个大于的数，可得，此时曲线围成的区域内整点个数较多，∴曲线围成的区域内整点个数不少于曲线围成的区域内整点个数，故④正确；故答案为：①③④． 【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分情况讨论和时，当取同一个值时，两个曲线方程中的大小的比较，此类多采用数形结合的思想． 3．（2021北京海淀区·人大附中高三期中）已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论： ①“水滴”图形与轴相交，最高点记为，则点的坐标为 ； ②在集合中任取一点，则到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记为，，则； ④白色“水滴”图形的面积是． 其中正确的有______． 【答案】②④ 【分析】①方程中，令求得的取值范围，得出最高点的坐标； ②利用参数法求出点到原点的距离，求出最大值； ③求出知最高点与最低点的距离； ④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成． 【解析】对于①，方程中， 令，得， ∴，其中， ∴， ∴， 解得； ∴点，点，点，点，∴①错误； 对于②，由，设， 则点到原点的距离为 ， 当时，，取得最大值为3，∴②正确； 对于③，由①知最高点为，最低点为， ∴，③不正确； 对于④，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成； 计算它的面积是， ∴④正确；综上知，正确的命题序号是②④．故答案为：②④． 【名师点睛】关键点点睛：本题的关键，一是求出四点坐标，正确判断①③，将方程写成圆的参数方程形式，再利用两点间距离判断③，对于④，两个弓形，分别是以“水滴”与轴的交点为圆心，半径为2的圆所在的弓形． 4．（2021北京北师大实验中学高三月考）如图，定点A到平面a的距离为，B，C为平面内的两个动点，满足AB=2，AC=，给出下列四个结论： ①BC∈[2，4]； ②∠BAC可能为； ③在平面内，所有满足AB≤AP≤AC的点P所构成的区域的面积为9π； ④设点D为A在平面内的正射影，则三棱锥ABCD体积