填空题压轴题 专题3 三角-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（北京专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【北京版】 专题3 三 角 1．（2021·北京西城区·高三一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________． 【答案】②④ 【分析】需满足四个条件： （1）自变量的取值范围为； （2）函数值域为的子集； （3）该函数在上恒有； （4）该函数为上增函数；逐一对照分析求解即可． 【解析】① ，该函数在时函数值为，超过了范围，不合题意； ② 为增函数，且 且，则，符合题意； ③ ，当时，不合题意 ④ ，当时，，故该函数在上单调递增， 又， 设，， 即， 易知在上为减函数， 令，则存在，有， 当，；当，； 故在递增，在递减． ，，故上，即上，故④符合题意， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查学生实际运用数学的能力．需要学生具备一定的数学建模思想，将文字语言描述的要求转化为数学表达式，再用数学方法分析求解． 2．（2021·北京朝阳区高三期末）设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①函数不具有性质； ②函数具有性质； ③若函数，具有性质，则； ④若函数具有性质，则． 其中，正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【分析】对每个选项中的具体函数，先求定义域和值域，再结合题中函数性质的定义进行直接判断或特殊值验证说明即可． 【解析】依题意，函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质． ①函数，定义域是R，当时，显然不存在，使得，故不具备性质，故①正确； ②是单调增函数，定义域是R，，当且仅当时等号成立，即值域为． 对任意的，，要使得，则需，而不存在， 使，故不具备性质，故②错误； ③函数在上是单调增函数，定义域是，其值域为． 要使得其具有性质，则对任意的，，总存在，， 即，即，即， 故，即，故．故③正确； ④若函数具有性质，定义域是R，使得， 一方面函数值不可能为零，也即对任意的恒成立，而， 故或，在此条件下， 另一方面，的值域是值域的子集． 的值域为，的值域为 要满足题意，只需， 时，即； 时，即； 故，即， 即，即，故．故④错误． 故答案为：①③． 【点睛】本题的解题关键在于理解题中新定义“函数具有性质”的实质是对任意，其函数值的取值集合包含了其倒数的取值集合，才能存在存在，使得，进而突破难点． 3．（2021北京丰台区·高三二模）已知集合．由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论： ①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为； ②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则； ④白色“水滴”图形的面积是． 其中正确的有______． 【答案】②③④ 【分析】①方程中，令求得y的取值范围，得出最高点的坐标； ②利用参数法求出点M到原点的距离d，求出最大值； ③求出知最高点C与最低点D的距离； ④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成． 【解析】对于①中，方程中， 令，得， ∴，其中，∴，∴， 解得； ∴点，点，点，点，∴①错误； 对于②中，由，设， 则点M到原点的距离为 ， 当时，，d取得最大值为3，∴②正确； 对于③中，由①知最高点为，最低点为，∴，③正确； 对于④中，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成； 计算它的面积是，∴④正确； 综上知，正确的命题序号是②③④． 【点睛】本题主要考查了以集合为背景的命题的真假判定，其中解答中涉及到三角函数的性质，圆的参数方程，以及圆的面积公式等知识点的综合考查，着重考查推理与运算能力． 4．（2021·北京海淀区·高三期中）若实数，满足方程组，则的一个值是___________． 【答案】(答案不惟一) 【分析】消去并利用恒等变换公式得到，进一步得到或，，再去一个值即可得解． 【解析】由得， ∴， ∴， ∴， ∴，∴或，， 即或，．∴可以取．故答案为：(答案不惟一) 5．（2021·北京石景山区·高三一模）海水受日月的引力，