填空题压轴题 专题2 数列-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（北京专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【北京版】 专题2 数 列 1．（2021·北京西城区·高三一模）在等比数列中，，则公比_______；若，则n的最大值为_________． 【答案】 3 【分析】首先求出数列的公比、，即可得到数列的通项公式，再根据通项公式对分奇偶讨论，即可得解． 【解析】∵，∴，∴，即，∴；∴当为偶数时，，当为奇数时， 要使，∴且为奇数即且为奇数，∴或，故答案为：， 2．（2021·北京高三期末）复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…；如此对开至规格．现有纸各一张．若纸的幅宽为，则纸的面积为____，这张纸的面积之和等于____． 【答案】 【分析】由题设条件逐一得出纸张的长和宽，进而得出的面积，再由纸张的面积是以为首项，公比为的等比数列，由求和公式得出这张纸的面积之和． 【解析】 根据题意，的长、宽分别为，的长、宽分别为，的长、宽分别为，的长、宽分别为，的长、宽分别为，∴的面积为 纸张的面积是以为首项，公比为的等比数列，∴这张纸的面积之和等于，故答案为：；． 3．（2021北京海淀区·人大附中高三期中）数列的前项和为，且，，．则______；______． 【答案】6 【分析】 由已知当时，，结合已知条件知，验证时不满足，得到数列的通项公式为，进而求得，再利用等比数列求和公式可求得． 【解析】 由知，当时， 两式作差得：，即，即； 又，，不符合上式，故数列去掉第一项是公比为3的等比数列， ∴数列的通项公式为 ∴当时， ，故答案为：6，． 【点睛】方法点睛：本题考查求数列的通项公式及等比数列求和公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式，当时，，一定要验证当时是否满足；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于易错题． 4．（2021北京西城区高三二模）在等差数列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝_____；使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝_____． 【答案】9 5． 【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d，可得an，令an≥0，解得n即可得出． 【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a2＝16，a5＝1，∴2a1+d＝16，a1+4d＝1， 解得：a1＝9，d＝﹣2．∴an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n．令an＝11﹣2n≥0，解得n5． ∴使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝5．故答案为：9；5． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项的和的最值，考查学生的计算能力． 5．（2021北京海淀区·人大附中高三开学考试）已知是等差数列，是公比为c的等比数列，，则数列的前10项和为__________，数列的前10项和为__________（用c表示）． 【答案】100 【分析】先根据求出等差数列的通项公式，计算前10项和即可，由等差数列的通项公式及是公比为c的等比数列求出，即可求前10项和． 【解析】∵是等差数列，，∴，解得，∴， ∴， ∵是公比为c的等比数列，且，∴，故， 当时，，当时，， 综上，故答案为：100；． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了等比数列的通项公式、求和公式，考查了分组求和． 6．（2021北京通州区·高三一模）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则______；______．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”） 【答案】8 ． 【分析】先根据题意分别把三三数之余二的正整数和五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成二个数列，再求出三三数之余二，五五数之余三的正整数从小到大排列，所构成的数列，这样利用等差数列的通项公式进行求解即可． 【解析】三三数之余二的正整数从小到大排列得到数列为：； 五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成数列为：． ∴三三数之余二，五五数之余三的正整数，从小到大排列得到数列为：，数列是以首项为8，公差为15的等差数列． 空1：； 空2：．故答案为：8； 【点睛】本题考查了等差数列的判定和通项公式的求法，考查了数学阅读能力和数学运算能力． 7．（2021北京市第十三中学高三期中）在疫情防控过程中，某医院一次性收