填空题压轴题 专题1 函数以及函数模型-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（北京专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【北京版】 专题1 函数以及函数模型 1．（2021·北京延庆区模拟）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是______． ①如果，那么函数为奇函数； ②如果，那么为单调函数； ③如果，那么函数没有零点； ④如果那么函数的最小值为2． 【答案】②③ 【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质对①②③④逐一分析即可得到结论． 【解析】对①：当时，函数，此时为偶函数，故①错误．对②：当时，令，函数在其定义域上为单调递增函数，函数在其定义域上也为单调递增函数，故函数在其定义域上为单调递增函数；当，函数在其定义域上为单调递减函数，函数在其定义域上也为单调递减函数，故函数在其定义域上为单调递减函数；综上：如果，那么为单调函数；故②正确． 对③：当时，函数， 当时，函数； 综上：如果，那么函数没有零点；故③正确． 对④：由，则， 当时，函数； 当时，函数； 故时，函数没有最小值；故④错误． 故答案为：②③ 【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性和最值的应用，考查基本不等式，考查指数函数的性质． 2．（2021·北京房山区·高三一模）设函数的定义域为，若对于任意，存在，使(为常数)成立，则称函数在上的“半差值”为．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为的函数是___________(填上所有满足条件的函数序号)．①；②；③；④． 【答案】②③ 【解析】①：，当时，，该函数此时单调递增， 当时，，该函数此时单调递减，∴当时，函数有最小值， 若是“半差值”为的函数，因此有，存在，使成立，即，对于，，而，显然，不一定存在，使成立，故本函数不符合题意； ②：∵函数的值域是全体实数集，∴对于任意，存在，使成立，符合题意； ③：∵函数的的值域是全体实数集，∴对于任意，存在，使成立，符合题意； ④：若是实数集上的“半差值”为的函数，因此有，存在，使成立，即，对于，，而，显然恒不成立，故假设不成立，∴本函数不符合题意，故答案为：②③． 【名师点睛】关键点睛：理解题中定义，根据函数的值域解题是关键． 3．（2021·北京西城区·高三一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________． 【答案】②④ 【分析】需满足四个条件：（1）自变量的取值范围为；（2）函数值域为的子集；（3）该函数在上恒有；（4）该函数为上增函数；逐一对照分析求解即可． 【解析】① ，该函数在时函数值为，超过了范围，不合题意； ② 为增函数，且且，则，符合题意； ③ ，当时，不合题意； ④ ，当时，，故该函数在上单调递增，又； 设，， 即，易知在上为减函数， 令，则存在，有，当，；当，， 故在递增，在递减． ，，故上，即上，故④符合题意，故答案为：②④． 【名师点睛】本题考查学生实际运用数学的能力．需要学生具备一定的数学建模思想，将文字语言描述的要求转化为数学表达式，再用数学方法分析求解． 4．（2021·北京通州期末）已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可． 【解析】，，，，， 当时，，，由得，由得，∴在上递减，在上递增，在处取得最小值，， ， 令，则，，当时，取得最小值，当时，取得最大值0，∴的取值范围是． 【名师点睛】关键点点睛：本题考查利用导函数研究函数的最值，令，将转化为关于t的二次函数，根据二次函数求最值是解题的关键，考查学生分析试题能力与转化化归能力，属于较难题． 5．（2021·北京石景山区·高三一模）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象