解答题压轴题 专题3 数列与集合新定义解答题-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（北京专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学解答题压轴题【北京版】 专题3 数列与集合新定义解答题 1．（2021·北京东城区·高三一模）设为正整数，若满足： ①；②对于，均有；则称具有性质．对于和，定义集合． （1）设，若具有性质，写出一个及相应的； （2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由； （3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个． 【答案】（1）答案见解析（2）不存在，理由见解析（3）证明见解析 【分析】（1）根据性质的定义可得答案； （2）利用反证法以及性质的定义推出相互矛盾的结论可得解； （3）通过构造，证明当，确定时，唯一确定，由也仅能构造出，即可得证． 【详解】 （1），；，；，；；，． （2）假设存在和均具有性质，且， 则， ∵与同奇同偶，∴与同奇同偶， 又∵为奇数，为偶数， 这与与同奇同偶矛盾，∴假设不成立． 综上所述：不存在具有性质的和，满足． （3）不妨设与构成一个数表， 交换数表中的两行，可得数表， 调整数表各列的顺序，使第一行变为， 设第二行变为， 令，则具有性质，且， 假设与相同， 则， 不妨设，，则有，故， ∵，∴， ∵，∴，与矛盾． 故对于具有性质的，若具有性质，且，则存在一个具有性质的，使得，且与不同，并且由的构造过程可以知道，当，确定时，唯一确定，由也仅能构造出． ∴满足的有偶数个． 【点睛】 关键点点睛：理解性质的定义，通过构造法解题是解题关键． 2．（2021·北京石景山区·高三一模）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”． （1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； （2）若集合为“满集”，求的值； （3）若是首项为，公比为的等比数列，判断集合是否为“满集”，并说明理由． 【答案】（1）是“满集”，不是“满集”；理由见解析；（2）；（3）是“满集”，理由见解析． 【分析】 （1）由和确定可能的取值，根据“满集”定义可知满足定义，但存在时不符合“满集”定义，由此可得结论； （2）设，由“满集”定义知：，由此可知或，在两种情况下均可确定，由此得到结果； （3）由等比数列求和公式确定，可得到，取，即可得到结论． 【详解】 （1），且的子集为，，，， 当时，；当时，；当时，， 是“满集”； ，且的子集为，，，， 当时，不存在集合的两个子集，使得成立， 不是“满集”． （2）设，集合为“满集”对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立， ，且，或． 当时，，此时； 当时，，， 为最大，此时． 综上所述：． （3）由题意知：集合，， 对任意的正整数， 根据二进制可知，． 取，． 即，集合为“满集”． 【点睛】 关键点点睛：本题考查集合中的新定义的问题，解题关键是能够充分理解“满集”的定义，通过分析所需满足的条件，找到符合要求的子集，从而说明是否符合“满集”定义． 3．（2021·北京门头沟区·高三一模）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①；②，；③，若且，则；④，若且，则，则称集合D为A的一个偏序关系． （1）设，判断集合是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D； （2）证明：是实数集R的一个偏序关系： （3）设E为集合A的一个偏序关系，．若存在，使得，，且，若，，一定有，则称c是a和b的交，记为．证明：对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一． 【答案】（1）集合不是集合A的偏序关系，，（2）证明见解析； （3）证明见解析． 【分析】 （1）根据条件显然，，但∴不满足条件④由此可判断，写出一个满足这四个条件的集合即可． （2）依次证明集合满足题目中的四个条件即可． （3）设为，则，则，，假设还存在一个，使得，则可以得到，，由条件③可得从而得证． 【详解】 （1）由 显然，，但 ∴不满足条件④，若且，则 ∴集合不是集合A的偏序关系． 集合满足条件①②③④， ∴集合是集合A的偏序关系． （2） ∴，则满足① 又，∴，，则满足② 由于，则当，若，则，也满足③ 由于，， 若则，若，则，∴ ∴，∴满足④ ∴是实数集R的一个偏序关系 （3）对A中的两个给定元素a，b，若存在，设为 ∴，，， 假设还存在一个，使得 则，，，又对于有，，则 由，，，对于，有，，则 由条件③，若且，则可得 ∴对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一 【点睛】 关键点睛：本题考查集合中的新定义问题，解答本题的关键是弄清楚定义的意义，特别是③，若且，则，以及的意义，假设还存在一个，使得，则可以得到，，属于难题． 4．（2021北京人大附中高三月考）已知数列中，