解答题压轴题 专题2 函数与导数-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（北京专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学解答题压轴题【北京版】 专题2 函数与导数 1．（2021·北京延庆区模拟）已知函数． （1）求曲线的斜率等于的切线方程； （2）求函数的极值； （3）设，判断函数的零点个数，并说明理由． 【答案】（1）；（2）极小值，无极大值；（3）函数有三个零点；理由见解析． 【分析】 （1）根据导数的几何意义可求得结果； （2）根据极值的定义，利用导数可求得结果； （3），利用导数得到的单调性，结合零点存在性定理可得有2个零点，而函数在上有唯一零点，且3个零点互不相等，所以有3个零点． 【详解】 （1）设切点为，因为， 所以，，， 所以切线方程为，即． （2）的定义域为． 令即，， 令，得，令，得，故在上单调递减， 在上单调递增， 所以存在极小值，无极大值， （3）函数有三个零点，理由如下： 由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 由且，， 所以存在唯一，使得， 又因为，， 且三个零点互不相同，所以函数有三个零点． 【名师点睛】 方法点睛：判断函数零点个数的常用的方法： （1）直接法：直接解方程得到方程的根，可得函数零点的个数； （2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 2．（2021·北京房山区·高三一模）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：； （3）设，是否存在唯一的自然数，使得与的图象在区间上有两个不同的公共点？若存在，试求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，． 【分析】 （1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）构造函数，利用导数进行证明即可； （3）把函数的图象的交点问题转化为函数的零点问题，构造新函数，利用导数进行求解即可． 【详解】 解：（1）因为，所以； 因为， 所以切线方程为，即； （2）设， 即， 令，则或 随变化情况如下表： 极小值 故=， 故， （3）由于，设 ，， 随变化情况如下表： 极大值 极小值 由表可知，，因为，， ，， 所以在，分别有唯一零点， 所以在内有两个零点，在，内无零点，内有唯一零点． 所以存在唯一的自然数，使得与的图象在上有两个不同公共点． 【名师点睛】方法点睛：把函数图象交点问题转化为函数零点问题是解题的关键． 3．（2021·北京海淀区·高三期中）已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）求证：函数在内有且只有一个极值点； （3）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）增函数，理由见解析（2）证明见解析（3） 【分析】 （1）求导，利用导数的符号判断可得结果； （2）利用导数，根据极值点的定义可证结论正确； （3）根据在时取得最小值，在时取得最大值，可得在时取得最小值． 【详解】 （1）因为，所以， 因为，所以， 所以函数在区间上为增函数． （2）设，则， 当时，，所以在上为减函数， 又，， 所以存在唯一，使得， 即存在唯一，使得， 与在区间内的变化情况如下： + 0 增函数 极大值 减函数 所以函数在内有且只有一个极值点． （3）由（1）（2）知，在内单调递增，在内单调递减， 又因为，，所以当时，， 又因为当时，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为． 【名师点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值和最值是解题关键． 4．（2021·北京西城区·高三一模）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：函数存在极小值； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【分析】 （1）将代入，求出求，得到，然后利用点斜式写出切线方程； （2）求导得，令函数，则求导可得，则函数在递减，在上单调递增，再根据，，则可证明出函数在上有一个零点，可证明出函数在递减，在上递增，在处取得极小值； （3）当时，由（2）可知，即函数恒成立，恒成立，所以函数在上递增，故只需即可，解得；当时， 由（2）可知存在，使得，函数在上递减，，不符合条件，综上可得． 【详解】 解：（1）当时，， 所以． 所以． 曲线在点处的切线方程为． （2）由，得． 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． 当时，，． 又在单调递增， 故存在，使得，在区间上，在区间上． 所以，在区间上，在区间上， 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数存在极小值． （3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于． ①当时，，由（2）得，所以．