解答题压轴题 专题1 解析几何-备战2021高考黄金30题系列之数学压轴题（北京专用）

备战2021高考黄金30题系列之数学解答题压轴题【北京版】 专题1 解析几何 1．（2021·北京房山区·高三一模）已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆的上顶点，、是椭圆上两个不同的动点（不在轴上），直线、的斜率分别为、，且，求证：直线过定点． 【解析】（1）根据题意得：，解得，∴椭圆的方程为； （2）∵点为椭圆上顶点，∴点的坐标为， 设点、， 设直线，由得， 解得，则，即点， ， 设直线，同理可得， 又∵，∴，∴， ∴，∴直线过定点． 【名师点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 2．（2021·北京海淀区·高三期中）已知椭圆过、两点． （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆的右顶点为，点在椭圆上（不与椭圆的顶点重合），直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：直线过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）将点、的坐标代入椭圆的方程，求出、的值，可得出的值，进而可求得椭圆的离心率； （2）设直线的方程为，求出点、的坐标，求出直线的方程，求出点的坐标，进一步可求得直线的方程，由此可得出直线所过定点的坐标． 【解析】（1）将点的坐标代入椭圆的方程可得，，，同理， ，因此，椭圆的离心率为． （2）如下图所示： 直线的方程为，即， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消去可得， 由韦达定理可得，，则， ∴点的坐标为， 联立，解得，即点， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 整理可得， 由，解得，因此，直线过定点． 【名师点睛】 方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 3．（2021·北京西城区·高三一模）已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F． （1）求椭圆C的离心率和的面积； （2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），的面积；（2）存在；． 【分析】 （1）根据点在椭圆上求出，进而求出，最后求出离心率及三角形的面积；（2）先根据两种特殊情况求出定点，从而可以获得，再证明实数时，使得直线经过y轴上定点． 【解析】 解：（1）依题意，，解得． ∵，即， ∴，， ∴离心率， 的面积． （2）由已知，直线的方程为， 当时， 直线的方程为，交y轴于点； 当时， 直线的方程为，交y轴于点． 若直线经过y轴上定点，则， 即，直线交y轴于点． 下面证明存在实数，使得直线经过y轴上定点． 联立消y整理，得， 设，． 则，． 设点，∴直线的方程：． 令，得 ． ∵， ∴． ∴直线过定点． 综上，存在实数，使得直线经过y轴上定点． 【名师点睛】 求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 4．（2021·北京朝阳区·高三一模）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为，离心率为． （1）求椭圆C的方程及焦点的坐标； （2）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）（2）． 【分析】 （1）根据题目椭圆过短轴端点，以及离心率，可以求出椭圆方程为． （2）利用直线MA的斜率以及直线MB的斜率，的方程，得出点P，Q的坐标， 那么就可以设出圆的方程， 再进行转化变形，就可以求出定点的坐标． 【解析】 （1）设椭圆方程为，∵椭圆短轴的两个端点为，∴b=1，且椭圆的离心率为，∴，并且，得出，∴椭圆方程为． （2）设点M)，则，∴过原点与MA平行的直线方程为：， 令，得，； ， ∴直线MB方程为：， 令，得，； 设过点P，Q的圆的方程为 展开后得： 即：； 令，