吉林省东北师范大学附属中学2021届高三下学期第四次模拟考试+数学（理）+Word版含答案

切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬 东北师大附中 2018级高三年级 第四次模拟考试 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D B A C D D A B D B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 14．4 15． 16． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（本小题满分12分） 【试题解析】 解：（1）由题意，解得， （2分） 所以， （4分） ． （6分） （2）， （7分） （8分） 相减得 ． （12分） 【另解】， 18．（本小题满分12分） 【试题解析】 愿意接种 不愿意接种 合计 男 40 女 55 合计 80 15 95 解：（1） （2分） （7分） 有的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关． （8分） （2）． （12分） 19．（本小题满分12分） 【试题解析】 证明：（1）取中点，连接，，则， 又，，， 所以，所以，所以． ，平面，平面，所以平面． 又平面，所以． （4分) （2）解：（2）由（1）知平面，平面， 所以平面平面． 所以在平面上的射影是，所以为直线与平面所成的角， 即． （6分) 又因为，，在中由余弦定理可知， 所以，所以．且平面平面， 所以平面． （8分) 【方法一】取中点，连接，， 则，， 所以为二面角的平面角， ． （12分) 【方法二】以为原点，分别是轴，轴，轴建立平面直角坐标系，如图所示． 则,,,． ， 平面的法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 记二面角的平面角为，则． 即二面角的余弦值为． （12分) 20．（本小题满分12分） 【试题解析】 解：（1）因为直线斜率为，所以设直线方程为， 与联立得，，， （2分） 因为焦点，所以设直线方程为， 与联立得，， （4分） （2）设直线方程为， 与联立得，， ，， （6分） 由（1）知，同理， 所以， 又由（1）知，所以， （10分） 所以直线方程为，过定点． （12分） 21．（本小题满分12分） 【试题解析】 解：（1）因为函数有两个极值点， 所以有两个零点， （1分） ①若，在单调递增，至多1个零点，不符合题意； （2分） ②若，令，， ，，单调递减，时，，单调递增， ， （i），，无零点， （3分） （ii），，1个零点， （4分） （iii），， 又， 且， 所以在各有一个零点，即有两个极值点， 综上，． （6分） （2）【证法一】 由（1）知，且， ， ， ， ， 要证明，只需证． （8分） 由相减得， 不妨设，则，， 所以， 所以只需证，只需证， （10分） 设， 所以在单调递减，， 所以，因此． （12分） 【证法二】不妨设， （9分） 设， ，在为增函数， ． （12分） 【说明】建议教师重点讲证法一，因为本题中由确定，即都与有关，而证法二中的并没有利用与相关，说明本题的结论不是极值点也成立． 原来编的题是证明，考虑到学生的计算量和难度问题只保留了比较简单的右侧不等式，讲解时可以加上． 要证明，只需证． 【证法一】 由相减得， 不妨设，则，， 要证， 由相加得， 要证，只需证， 即， 只需证，即只需证， 设，， 所以在单调递增，， 所以，所以，所以． 【证法二】 设，， 则， 在为减函数， 当，， 所以， 取，则， 又因为，且在单调递增， 所以，所以， 所以，所以． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分． 22. [选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 【试题解析】解：（1）曲线的直角坐标方程是， 化成极坐标方程为； 曲线的直角坐标方程是. （5分） （2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是， 代入得， 又，所以，因此.（10分） 23. [选修：不等式选讲]（本小题满分10分） 【试题解析】解：（1），当且仅当时等号成立. 也可以画图解答