秘籍15 等腰三角形-备战2021年中考数学抢分秘籍

秘籍15 等腰三角形 【考点总结】一、等腰三角形 1．等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形． 2．等腰三角形的性质： (1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)； (3)等腰三角形是轴对称图形． 3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)． 【考点总结】二、等边三角形的性质与判定 1．等边三角形的性质： (1)等边三角形的内角相等，且都等于60°； (2)等边三角形的三条边都相等． 2．等边三角形的判定： (1)三条边相等的三角形是等边三角形； (2)三个角相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 【考点总结】三、线段的垂直平分线 1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线． 2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合． 【考点总结】四、角平分线的性质及判定 1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合． 一、单选题 1．（2021·上海九年级专题练习）在中，，，，垂足为D．下列四个选项中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2021·日喀则市教育局教育科学研究所九年级一模）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（　　） A．58° B．60° C．64° D．68° 3．（2021·福建南平市·九年级一模）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（　　） A．100° B．120° C．115° D．135° 4．（2021·上海九年级专题练习）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　） A． B． C．2 D．2 5．（2021·河南九年级二模）是⊙的直径，切⊙于点，交⊙于点;连接,若,则等于（ ） A．20° B．25° C．30° D．40° 二、填空题 6．（2021·上海九年级专题练习）如图，在中，，点D、E分别在边BC、AB上，，CE=BE，AD与CE交于点F，如果，那么CF的长等于_________． 7．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，已知是边长为的等边三角形，正方形的顶点分别在边 上，点在边上，那么的长是_____． 8．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，，，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于_________． 9．（2021·上海九年级专题练习）我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”．相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形中，，则，所以四边形是闪亮四边形，是闪亮对角线，、是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形中，是闪亮对角线，、是对应的闪亮边，且，，，，那么线段的长为________． 10．（2021·山东泰安市·九年级一模）平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠B＝60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是_____． 11．（2021·山东淄博市·九年级一模）如图①的长方形ABCD中， E在AD上，沿BE将A点往右折成如图②所示，再作AF⊥CD于点F，如图③所示，若AB＝2，BC＝3，∠BEA＝60°，则图③中AF的长度为_______． 12．（2021·河南九年级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°,AC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， 点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____________. 三、解答题 13．（2021·湖北黄冈市·九年级一模）在中，，于点，为上一点（不与，重合）， （1）如图1，若，求证：平分； （2）如图