预测06 锐角三角比与解直角三角形-【临门一脚】2021年中考数学三轮冲刺过关（上海专用）

预测06 锐角三角比与解直角三角形 2015-2020上海中考锐角三角比与解直角三角形考点及分值分布 年份 题型      考点  分值 15 解答22 1.勾股定理2.锐角三角比。 10 16 解答22 锐角三角比 10 17 解答22 1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理. 10 18 解答22 解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数 10 19 解答22 解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理 10 20 解答21 直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质 10 锐角三角比与解直角三角形 在锐角三角比和解直角三角形中，我们需要掌握以下知识点：①锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念)，30度、45度、60度角的三角比值(II)；解直角三角形及其应用(III)。实际问题成为近几年中考的热点，在解题时，要读清题意，读懂图形，将实际问题转化为数学问题。 如下图是本章的知识梳理和结构框图： 知识梳理 直角三角形的性质：1、直角三角形两锐角互余；2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3、在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半；4、勾股定理.锐角三角比的简单应用： 仰角、俯角和坡度： 特殊角的锐角三角比： 实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式： 例题解析 【分析】本题图2的情况容易漏解，需要根据题意分类讨论，避免漏解. 【总结】利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；  (2)根据条件的特点，选用适当锐角三角形比去解直角三角形；  (3)得到数学问题的答案；  (4)得到实际问题的答案．  2019年中考22题(后备箱旋转角问题)以及2015年中考22题(隔音板距离问题)都考察了解直角三角的应用，但是得分率却不是很高。数学中的几何问题在实际生活中的应用成为了热门问题，相较于单纯的解直角三角形，在实际生活中的应用更侧重考察了学生的理解题意和读图的能力。一旦读懂了题意，结合图形标出对应的数值，其实解答的过程往往并不复杂，同时，在解答过程中也要保证计算的准确性，避免“会而不对”。 1．（2020上海中考真题）如图，在直角梯形ABCD中， ，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3 ． （1）求梯形ABCD的面积； （2）联结BD，求∠DBC的正切值． 【答案】（1）39；（2） ． 【分析】(1)过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到 ，即可求出梯形的面积； (2) 过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到 ，根据勾股定理得到 ， 即可求解． 【详解】解：(1)过C作CE⊥AB于E，如下图所示： ∵AB DC，∠DAB=90°，∴∠D=90°， ∴∠A=∠D=∠AEC=90°， ∴四边形ADCE是矩形， ∴AD=CE，AE=CD=5， ∴BE=AB﹣AE=3． ∵BC=3 ，∴CE= =6， ∴梯形ABCD的面积= ×(5+8)×6=39， 故答案为：39． (2)过C作CH⊥BD于H，如下图所示： ∵CD AB，∴∠CDB=∠ABD． ∵∠CHD=∠A=90°， ∴△CDH∽△DBA，∴ ， ∵BD= = =10， ∴ ，∴CH=3， ∴BH= = =6， ∴∠DBC的正切值= = = ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（2019·上海中考真题）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖 可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖 落在 的位置（如图2所示），已知 厘米， 厘米， 厘米． （1）求点 到 的距离； （2）求E、 两点的距离． 【答案】（1）点D′到BC的距离为（45 +70）厘米；（2）E、E′两点的距离是 厘米． 【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′=∠BHD′=90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH=DC=DE+CE及D′H=D′F+FH可求出点D′到BC的距离； （2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′=AE，∠EAE′=60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′=AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′=AE可得