预测04 构造X型、A基本图形-【临门一脚】2021年中考数学三轮冲刺过关（上海专用）

预测04 构造X/A基本图形 年份 题型      考点  分值 15 综合25 25-1同圆的半径相等+全等三角形的判定； 25-2相似三角形的判定+相似三角形的性质； 25-3直角三角形的存在性 14 16 综合25 勾股定理，A.A判定三角形相似，等腰三角形分类讨论 14 17 综合25 25-1同圆的半径相等+A.A判定三角形相似 25-2直角三角形的存在性+特殊角 25-3比例中项 14 18 综合25 25-1垂径定理+四者关系 25-2锐角三角比+构造平行线 25-3圆与正多边形、中心角 14 19 综合25 相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识 14 20 证明25 25-1垂径定理+等腰三角形的三线合一 25-2等腰三角形的存在性问题 25-3构造平行线+勾股定理、构造X/A基本图形 14 在相似三角形的压轴题中有许多A型、X型辅助线添线的问题，本节就2道此类型的题目作一个汇总和小结。 本题的第1问，利用方程思想，通过设BC=BD=x，在Rt△ABC中利用勾股定理求解，求出BC的长，继而再求出sinA的值。 本题的第2问，要求∠BPD的正切值，即需要求出CP的长。而本题是典型的“燕尾三角形”，因此可以通过过交点构造平行线。 本题的第2问的解法1、解法2和解法3，通过过点C或A构造平行线，构造了2次A型和X型基本图形，得到了点C为BP的中点，求出CP的长度，本题就迎刃而解了。 本题的第2问的解法4和5通过作高的方式添加了平行线，但相较于前三种解法就略显得复杂，因此合理添加辅助线是简化计算的方式。2020年中考25题的第(3)问及2019年中考25题的第(2)问都涉及了添加辅助线构造A型或X型，可以通过以下的链接进行进一步的学习。 2019上海中考25题(2)部分添线赏析： 2020上海中考25题(3)部分添线赏析： 本题的第3问，对于等腰三角形的存在性问题进行分类讨论，通过计算确定其存在性。 2010上海中考数学题链接： 本题的第1问是在特殊条件下的，即∠B=30°的情况下成立的，因此重新画一幅标准的参考图是极其重要的。同时虽然有了圆A这样的背景，但是圆A带给我们的条件就是AD=AE=1，因此去除无关条件，呈现最纯正的图就显得尤为重要。此时可以得到△ADE是正三角形，即∠P=∠B=30°，此时BD=DP，因此△AEP与△BDP相似有且仅有AE=EP的情况。  本题的第2问与例题完全一致，此处不赘述了。本题的第3问紧扣第2问求得的tan∠BPD，因此通过作垂线构造△ADQ∽△ABC，用含x的代数式表示△ABC的周长，继而得证。 先分析25题的第(1)、(2)，就具体解法，错误原因进行详细分析。 解题思路分析：第(1)题的关键在于如何利用条件“AB=AC”，如何综合利用三角形、圆的基本性质。解法流程图如下： 解法1：利用垂径定理         小结：若要利用垂径定理及其推论，一定是“2→2”，（链接：垂径定理），本题的易错点①在于“联结AO交于H”后就直接推出了“AH⊥BC”，忽略了还需要一个条件：点A平分弧BAC;易错点②在于“作AH⊥BC”后，就默认AH过圆心了，此处又忽略了一个条件，即AH平分弦BC.因此在使用垂径定理时，注意前提条件。 解法2：利用垂直平分线的逆定理  解法3：证明三点共线   小结：两种证明三点共线的方法，一种是利用“OH⊥BC，AH⊥BC”证明三点共线，另一种是利用“H、G都为BC”中点，进而证明三点共线。    解法4：利用圆中四者关系构造全等三角形  小结：本方法中全等的证明还可以利用“AB=AC→∠AOB=∠AOC”，AO=AO，∠AOB=∠AOC，BO=CO，证明▲AOB≌▲AOC. 解法5：利用圆心角和圆周角的倍半关系 小结：本方法中圆心角和圆周角的倍半关系是拓展II的内容，综合利用了三角形的内角和定理进行角的转化。解法6：利用角平分线的逆定理 解法7：利用等边对等角及角的和差关系 解题思路分析：第(2)题的解法思路如下： 从条件看：由（1）得，∠BAC=2∠ABD，利用方程思想设元； 从结论看：由▲BCD是等腰三角形，进行分类讨论： ①BC=BD；②BC=CD；③BD=CD. 小结：本题的难点在于根据(1)的推理进行设元，然后进行分类讨论。继而利用三角形的内外角和定理求出∠BCD的度数。值得注意的是，对于BD=CD不存在的情况说明，要从∠DBC<∠C的角度切入，而不能简单地说“D与A重合”. 解题思路分析：第(3)题的解题思路如下： 由本题的第(1)小题：证明∠BAC=2∠ABD，以及前2问的辅助线“延长AO交BC于H”，经过观察和分析，图中有现成的2个基本图形，同