专题20 综合探究（解答题）-备战2021年中考数学临考题号押题（全国通用）

专题20综合探究 【2020哈尔滨】已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9． （1）如图1，求直线AB的解析式； （2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标． 【分析】（1）求出A，B两点坐标，利用待定系数法解决问题即可． （2）由题意直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），求出PE，OD（用a表示）即可解决问题． （3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．证明△OFS≌△FQR（AAS），推出SF＝QR，再证明△BSG≌△QRG（AAS），推出SG＝GR＝6，设FR＝m，则AR＝m，AF＝m，QR＝SF＝12﹣m，GQ﹣FG＝AF，根据GQ2＝GR2+QR2，可得（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，由题意tan∠DHE＝tan∠DPH，可得＝，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，推出＝，可得DH＝6a，推出tan∠PHD＝＝＝2，由∠PHD＝∠FHT，可得tan∠FHT＝＝2，推出HT＝2，再根据OT＝OD+DH+HT，构建方程求出a即可解决问题． 【解答】解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9， ∴y＝9时，9＝x，解得x＝12， ∴C（12，9）， ∵AC⊥x轴， ∴A（12，0）， ∵OA＝OB， ∴B（0，﹣12）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣12． （2）如图2中， ∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°， ∴四边形OACM是矩形， ∴AO＝CM＝12， ∵NC＝OM＝9， ∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3， ∴N（3，9）， ∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0）， ∴OD＝4a， 把x＝4a，代入y＝x中，得到y＝3a， ∴E（4a，3a）， ∴DE＝3a， 把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a， ∴P（4a，12a）， ∴PD＝12a， ∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a， ∴＝． （3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T． ∵GF∥x轴， ∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR， ∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°， ∴四边形OSRA是矩形， ∴OS＝AR， AR＝OA＝12， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝45°， ∴∠FAR＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAR＝∠AFR， ∴FR＝AR＝OS， ∵OF⊥FQ， ∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°， ∴∠OFS+∠QFR＝90°， ∵∠QFR+∠FQR＝90°， ∴∠OFS＝∠FQR， ∴△OFS≌△FQR（AAS）， ∴SF＝QR， ∵∠SFB＝∠AFR＝45°， ∴∠SBF＝∠SFB＝45°， ∴SF＝SB＝QR， ∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R， ∴△BSG≌△QRG（AAS）， ∴SG＝GR＝6， 设FR＝m，则AR＝m，AF＝m，QR＝SF＝12﹣m， ∵GQ﹣FG＝AF， ∴GQ＝×m+6﹣m＝m+6， ∵GQ2＝GR2+QR2， ∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2， 解得m＝4， ∴FS＝8，AR＝4， ∵∠OAB＝∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR， ∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°， ∴四边形OSFT是矩形， ∴OT＝SF＝8， ∵∠DHE＝∠DPH， ∴tan∠DHE＝tan∠DPH， ∴＝， 由（2）可知DE＝3a，PD＝12a， ∴＝， ∴DH＝6a， ∴tan∠PHD＝＝＝2， ∵∠PHD＝∠FHT， ∴tan∠FHT＝＝2， ∴HT＝2， ∵OT＝OD+DH+HT， ∴4a+6a+2＝8， ∴a＝， ∴OD＝，PD＝12×＝， ∴P（，）． 【点评】本题属于一次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 【2020鹤岗】以 的两边 、 为边，向外作正方形 和正方形 ，连接 ，过点 作 于