专题17 二次函数应用（解答题）-备战2021年中考数学临考题号押题（全国通用）

专题17二次函数应用 【2020玉林】已知抛物线 与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）将抛物线 经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B， 两点（ 在B的右侧），顶点D的对应点 ，若 ，求 的坐标和抛物线 的解析式； （3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线 或 上是否存在点P，使以 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B （3，0），y2=-x2+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+ ，-3），（-1- ，-3），（0，-3），（4，-3）． 【解析】 【分析】 （1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐标； （2）设B （t，0），根据由题意得y2由y1平移所得，可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出D ，判断出△BD B 是等腰直角三角形，可得yD = |BB |，即可得到关于t的方程，解出t即可求出B 的坐标和y2的解析式； （3）分①若Q在B 右边，②若Q在B 左边：当B Q为边时和当B Q为对角线时，这几种情况讨论即可． 【详解】 解：（1）由题意得抛物线 与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C， ∴当y=0时， 即（x+3）（1-x）=0 解得x1=-3，x2=1， ∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0）， 当x=0时，y=-02-2×0+3=3， ∴C的坐标为（0，3）， 综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）； （2）设B （t，0）， 由题意得y2由y1平移所得， ∴a=-1， ∴可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t， ∴D （ ， ）， ∵B和B 是对称点，D 在对称轴上，∠BD B =90°， ∴△BD B 是等腰直角三角形， ∴yD = |BB |， ∴ = （t-1）， 解得t=3， ∴B （3，0）， ∴y2=-x2+4x-3； （3）①若Q在B 右边，则P在x轴上方，且CP∥B Q， ∴yP=yC=3， 此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去； ②若Q在B 左边， 当B Q为边时，则CP∥B Q， 此时yP=yC=3，P点在y1上， 将yP=3，代入y1得 ， 解得x1=0，x2=-2， ∴此时P的坐标为（-2，3）； 当B Q为对角线时，则B C∥QP， ∵yC-yB =3， ∴yQ-yP=3， ∵Q在x轴上， ∴yP=-3， 将yP=-3代入y1得 ， 解得x1=-1+ ，x2=-1- ， 将yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3， 解得x1=0，x2=4， ∴P的坐标为：（-1+ ，-3），（-1- ，-3），（0，-3），（4，-3）， 综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+ ，-3），（-1- ，-3），（0，-3），（4，-3）． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键． 【2020安徽】在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点． （1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由； （2）求a，b的值； （3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值． 【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上； （2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b； （3）设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（，+q），根据题意得出+q＝+1，由抛物线y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q＝﹣﹣1＝﹣（p﹣1）2+，从而得出q的最大值． 【解答】解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下： ∵直线y＝x+m经过点A（1，2）， ∴2＝1+m，解得m＝1， ∴直线为y＝x+1， 把x＝2代入y＝x+1得y＝3， ∴点B（2，3）在直线y＝x+m上； （2）∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A、C两点， 把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得， 解得a＝﹣1，b＝2； （3）由（2）知，抛物线为y＝﹣x2+2x+1， 设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q