专题14 锐角三角形应用（解答题）-备战2021年中考数学临考题号押题（全国通用）

专题14锐角三角形应用 【2020安徽】如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）． （参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．） 【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝， ∴tan42.0°＝≈0.9， ∴AD≈0.9BD， 在Rt△BCD中，tan∠CBD＝， ∴tan36.9°＝≈0.75， ∴CD≈0.75BD， ∵AC＝AD﹣CD， ∴15＝0.15BD， ∴BD＝100米， ∴CD＝0.75BD＝75（米）， 答：山高CD为75米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，注意方程思想与数形结合思想的应用． 【2020金昌】图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点 到地面的高度为 ，在测点 用仪器测得点 的仰角为 ，前进一段距离到达测点 ，再用该仪器测得点 的仰角为 ，且点 ， ， ， ， ， 均在同一竖直平面内，点 ， ， 在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器 （ ）的高度 5米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据： ， ， ， ， ， ） 【答案】 【解析】 【分析】 如图，延长 交 于 ，设 利用锐角三角函数表示 ，再表示 ，再利用锐角三角函数列方程求解 ，从而可得答案． 【详解】 解：如图，延长 交 于 ， 由题意得： 设 由 由 经检验： 符合题意， “马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为 【点睛】 本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． 【2020遵义】某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 【答案】MN的长度约为1.5m． 【解析】 【分析】 延长BC交AD于E，利用锐角三角函数求解 ，即可得到答案． 【详解】 解：如图，延长BC交AD于E， 结合题意得：四边形DEBN，四边形MCBN都为矩形， BE=DN，DE=NB=MC＝1.6，BC=MN, 由 由 得： 米． 【点睛】 本题考查的是利用锐角三角函数的意义解直角三角形，掌握三角函数的含义是解题的关键． 【2020河南】位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一． 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m． （1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）； （2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论； （2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法． 【解答】解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E， 则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形， ∴BC＝MN＝16m，DE