专题13 尺规作图（解答题）-备战2021年中考数学临考题号押题（全国通用）

专题13尺规作图 【2020北京高级中】已知：如图， ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB． 求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP= ． 作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP= ． ∵AB=AC， ∴点B在⊙A上． 又∵∠BPC= ∠BAC（ ）（填推理依据） ∴∠ABP= ∠BAC 【答案】（1）见解析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 【解析】 【分析】 （1）按照作法的提示，逐步作图即可； （2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC= ∠BAC，从而可得答案． 【详解】 解：（1）依据作图提示作图如下： （2）证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP= ． ∵AB=AC， ∴点B在⊙A上． 又∵∠BPC= ∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据） ∴∠ABP= ∠BAC 故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． 【点睛】 本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键． 【2020福建】如图， 为线段 外一点． （1）求作四边形 ，使得 ，且 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的四边形 中， ， 相交于点 ， ， 的中点分别为 ，求证： 三点在同一条直线上． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）按要求进行尺规作图即可； (2)通过证明角度之间的大小关系，得到 ，即可说明 三点在同一条直线上． 【详解】 解：（1） 则四边形 就是所求作的四边形． （2）∵ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ． ∵ 分别为 ， 的中点， ∴ ， ，∴ ． 连接 ， ，又∵ ， ∴ ，∴ ， ∵点 在 上∴ ，∴ ， ∴ 三点在同一条直线上． 【点睛】 本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想． 【2020金昌】如图，在 中， 是 边上一点，且 ． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作 的角平分线交 于点 ； ②作线段 的垂直平分线交 于点 ． （2）连接 ，直接写出线段 和 的数量关系及位置关系． 【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明 是 的中位线，根据中位线的性质可得答案． 【详解】 解：（1）如图，① 即为所求作的 的角平分线， ②过 的垂线是所求作的线段 的垂直平分线． （2）如图，连接 ， 平分 由作图可知： 是 的中位线， 【点睛】 本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【2020广州】如图， 中， ． （1）作点 关于 的对称点 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接 ， ，连接 ，交 于点 ． ①求证：四边形 是菱形； ②取 的中点 ，连接 ，若 ， ，求点 到 的距离． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析：② ． 【解析】 【分析】 （1）过点 做 的垂线交 于点 ，在 的延长线上截取 ，即可求出所作的点 关于 的对称点 ； （2）①利用 ， 得出 ，利用 ，以及 得出四边形 是菱形； ②利用 为中位线求出 的长度，利用菱形对角线垂直平分得出 的长度，进而利用 求出 的长度，得出对角线 的长度，然后利用面积法求出点 到 的距离即可． 【详解】 （1）解：如图：点 即为所求作的点； （2）①证明： ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ； ∴ ， 又∵ ， ∴四边形 是菱形； ②解：∵四边形 是菱形， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∵ 为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ 为 的中位线， ∵ ， ∴ ， ∴菱形的边长为13， ∵ ， 在 中，由勾股定理得： ，即： ， ∴ , 设点 到 的距离为 ，利用面积相等得： ， 解得： ， 即 到 的距离为 ． 【点睛】 本题考查了对称点的作法、菱形的判定以及菱形的面积公式的灵活应用，牢记菱形的判定定理，以及对角线乘积的一半等于菱形的面积是解决本题的关键． 【2020哈尔滨】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段C