专题3.3 回归分析、独立性检验-2021年高考数学（文）解答题挑战满分专项训练

专题3.3 回归分析、独立性检验 1．与回归直线方程有关的解答题的求解策略： （1）依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系； （2）计算的值； （3）计算回归系数； （4）写出回归直线方程为； 注意：（1）回归直线过样本点中心是一条重要性质， （2）利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 2．与独立性检验有关的解答题的求解策略： （1）根据样本数据列出列联表； （2）计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0： （3）如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”． 【预测题1】数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1-9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛，赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据： (天) 1 2 3 4 5 6 7 (秒) 990 990 450 320 300 240 210 （1）现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程； （2）请用第（1）题的结论预测，小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？ 参考数据：(其中) 1845 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1）；（2）140秒. 【解析】（1）由题意， 令，设关于的线性回归方程为， 则有， 则，所以， 又，所以关于的回归方程为； （2）当时，， 所以经过100天训练后，小明每天解题的平均速度约为140秒. 【预测题2】芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据统计如下： （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）根据折线图的数据，求关于的线性回归方程（系数精确到整数部分）； （3）为鼓励科技创新，当研发技术投入不少于15亿元时，国家给予公司补贴4亿元，预测当芯片的研发投入为16亿元时公司的实际收益. 附：样本的相关系数，线性回归方程中的系数，，当时，两个变量间高度相关. 参考数据：，，. 【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）80亿元. 【解析】（1） ， 所以与两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合. （2）因为， 所以， 故关于的线性回归方程为. （3）当时，亿元， 故当亿元时，公司的实际收益的预测值为亿元. 【预测题3】某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分 (采用百分制)，剔除平均分在 40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名.现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100 名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到下表. 分数段 性别 男/人 3 9 18 15 6 9 女/人 6 4 5 10 13 2 附表及公式：其中， （） 0. 100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 （1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别是否有关； （2）规定成绩在80分以上为优秀(含80分) ，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”. 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 【答案】（1）答案见解析；（2）2×2列联表见解析，没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”. 【解析】（1）男生的平均分 女生的平均分 从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关. （2）由题表可知， 在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下： 优秀 非优秀 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计 30 70 100 计算可得 所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”. 【预测题4】某公司为了解服务质量，随机调查了位男性顾客和位女性顾客，每位