压轴14 平面向量基本定理及坐标表示-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴14 平面向量基本定理及坐标表示 一、单选题 1. 如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为 A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】解：为的重心， ，且， 又在线段MN上，，， ， ， 当且仅当，即时等号成立． 故选A． 2. 在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，若，，，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图所示， ， ， 又， ， ； 又P、M、N三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 的最小值为． 故选B． 3. 在中，D为三角形所在平面内一点，且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：设直线AD，BC交于点E，且， 由E，B，C三点共线，得，， ， ， ， 设，则， 又，， ． 故选B． 4. 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于 A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】解：， ． ， ． ． 又，， 代入上式整理得， 故所求值为． 故选D 5. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点A，B在双曲线C：上，且，则直线AB的斜率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由题意，设，，设直线AB的方程为， 与双曲线C：联立，消去x得，， ，， 又由，得，结合上式解得． 故选B． 6. 已知P，Q是所在平面内任意两个不同的点，的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则点Q是的 A. 外心 B. 重心 C. 垂心 D. 内心 【答案】D 【解析】解：由得， 所以， 因为，分别为，方向上的单位向量， 所以点Q在的角平分线上， 同理可得点Q在的角平分线上， 故点Q是的内心． 故选D 7. 过点作圆O：的切线，切点为D，且设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线l，且l交x轴于点A，交y 轴于点B，设，则的最小值为 A. B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】解：由题意，圆O：的圆心为， 过点 作圆O：的切线，切点为D，且， ， 设直线l的方程为，即， 则，， ， ， 直线l与圆O相切， ， ，当时等号成立， ， ， ， ， 的最小值为6． 故选B． 8. 若直线MN过的重心G，且，，其中，，则的最小值是 A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】解：设BC的中点为D， 则， ，G，N三点共线， 故． ． 当且仅当时取等号． 所以的最小值是， 故选B． 9. 在中，E为AC上一点，，P为BE上任一点，若，则的最小值是 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】解： ， 所以，得， 所以， 等号当且仅当时取得等号， 故选D． 10. 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点P满足时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的单位向量，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：设，，， 则， 即为点到，和三个点的距离之和， 则为等腰直角三角形， 由费马点的性质可得，当点P的坐标为时，距离之和最小为， 故选D． 二、填空题 11. 如图，在圆的内接四边形ABCD中，已知对角线BD为圆的直径，，，则的值为_______． 【答案】 【解析】解：以AB，AD所在直线为x，y轴建立直角坐标系，如图： 则，， 设则 联立得 将代入得或舍， 所以，， 所以． 故答案为． 12. 如图，在中，已知，，，点M是边AB的中点，点N在直线AC上，且，直线CM与BN相交于点P，则线段AP的长为          ． 【答案】 【解析】【解答】解：因为B，P，N三点共线， 所以存在实数x满足， 因为C，P，M三点共线， 所以存在实数y满足， 又，不共线，则 所以， 所以 ， 所以， 故答案为． 13. 在中，点O在线段BC的延长线上，且，当，则______ ． 【答案】 【解析】解：如图所示， 中，， ， ， 即； ； 又， ，， ． 故答案为． 14. 如图，在的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM交于点P，若，，则的值为______． 【答案】6 【解析】解：由题意得：， ． ，，解得，， 故答案为6． 三、解答题 15. 如图，在中，，，，D是BC的中点，点E满足，BE与AD交于点G．    设，求实数的值；    设H是BE上一点，且，求的值