专题十二 立体几何大题专练（含创新题）（含解析）-2021届高三（新高考）二轮复习专项训练

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 专题十二：立体几何大题专练（含创新题）-2021新高考考点专项冲刺-解析版 一、解答题 1.已知四棱锥 及其三视图如图所示，其底面 是正方形，且平面 平面 ，当 、 分别是棱 、 的中点时，连接 、 ． （1）证明：直线 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】 （1）证明：由三视图可知， ， ， ， 即 ， ， ， . 因为四边形 为正方形， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 . 取 的中点为 ，连接 、 ， 由 、 分别是 、 中点，则 且 ， 由 为 的中点，则 且 ，所以， 且 ， 所以四边形 为平行四边形，则 ， 平面 ， 平面 ，因此， 平面 （2）解：以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，其中 、 、 、 、 ， 设平面 的法向量 ， ， ， 由 ，令 ，则 ， ，可得 ， 由 ，则 ， 因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 【解析】【分析】(1)根据题意结合三视图的性质即可得出该几何体的形状，结合三角形的几何性质由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，再中点的性质得出线线平行结合线面平行的判定定理即可得证出结论。 (2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面PAB法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面PAB的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此即可得到到直线 与平面 所成角的正弦值 。 2.如图所示的几何体由等高的 个圆柱和 个圆柱拼接而成，点 为弧 的中点，且 、 、 、 四点共面． （1）证明： 平面 ． （2）若直线 与平面 所成角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 【答案】 （1）证明：取弧 的中点 ，连结 ， ， 则 ，所以 ，因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 平面 ， ． 所以 平面 （2）解：以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，因为直线 与平面 所成角为 ，则 ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，由 可得： ，令 ，则 ，同理可得：平面 的法向量为 ，则 ，故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出线线平行，再由平行的性质结合已知条件即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。 (2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面 与平面 所二面角的余弦值 。 3.如图， 是 的直径，动点P在 所在平面上的射影恰是 上的动点C， ，D是 的中点， 与 交于点E，F是 上的一个动点． （1）若 平面 ，求 的值； （2）若F为 的中点， ，求直线 与平面 所成角的余弦值． 【答案】 （1）解：因为 平面 ，所以 ， 所以 ．因为D，O分别为 的中点， 所以点E为 的重心，所以 ，即 （2）解：如图所示建立空间直角坐标系． ∴ ． ∵ ． ∴ 设平面 的法向量为 ，∴ 令 ，∴ 直线 与平面 所成角的余弦值为 【解析】【分析】(1)根据题意已知条件由线面平行的性质定理即可得到线线平行，进而得到再由中点以及重心的定义即可得出答案。 (2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到直线 与平面 所成角的余弦值 。 4.现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥 ，如图所示，其中 ，点E，F，G分别是 的中点． （1）求