专题十一 几何大题线面角专练（含解析）-2021届高三（新高考）二轮复习专项训练

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 专题十一：几何大题线面角专练-2021新高考考点专项冲刺-解析版 一、解答题 1.如图，三棱柱 中， 侧面 ，已知 ， ， ，点E是棱 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】 （1）证明： ， ， ， 由余弦定理可知 ， ， ， 侧面 ，且 面 ，又 ， 平面 ， 平面 （2）解：由（1）知，以B为坐标原点，BC为x轴， 为y轴，BA为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则： ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 同理，设平面 的法向量为 ， ， 由 得 ， 故 ， 由题意二面角 是锐二面角，故二面角 的余弦值为 【解析】【分析】 （1）利用余弦定理求出BC1的值，由勾股定理证得BC⊥BC1 ， 再由AB⊥侧面BB1C1C，可得BC⊥AB，利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出所需向量的坐标，然后利用待定系数法求出两个平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可． 2.如图，矩形 中， ， ， 为 的中点．把 沿 翻折，使得平面 平面 ．     （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求 所在直线与平面 所成角的正弦值． 【答案】 解：（Ⅰ）证明：∵ 为 的中点， 矩形 中， ， ， ∴ ，则 ， ∴ ． ∵平面 平面 ， 平面 平面 ， ∴ 平面 ， ∴ ． （Ⅱ）解法一：取 的中点 ，连接 ， ，则 ． ∵平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 ， ∴ ， 设点 到平面 的距离为 ， ∴ ． 在 中， ， ，则 ， ∴ ，则 ． 设 所在直线与平面 所成角为 ， ∵ ，∴ ， 即 所在直线与平面 所成角的正弦值为 解法二：取 的中点 ，连接 ，则 ， 取 的中点 ，连接 ，则 ， ∴ 平面 ， ∴以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建 立如图所示的空间直角坐标系． 则 ， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴设 为平面 的一个法向量， ∴ ， ， 所以 ，令 ，则 ∴ ． 设 所在直线与平面 所成角为 ， ∴ ， 即 所在直线与平面 所成角的正弦值为 【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由中点的性质结合勾股定理代入数值计算出垂直，再由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，由此得证出结论。 （Ⅱ）法一： 根据题意作出辅助线由已知条件得到线线垂直，再由线面垂直的性质定理即可得出线面垂直，进而求出面的高线结合体积公式由等体积法计算出结果。 法二：根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合同角三角函数的平方关系即可求出 所在直线与平面 所成角的正弦值 。 3.如图1，在梯形 中， ， ， .将 与 分别绕 ， 旋转，使得点 ， 相交于一点，设为点 ，形成图2，且二面角 与二面角 都是45°. （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ，且梯形 的面积为 ，求二面角 的余弦值. 【答案】 （1）证明：∵ ， ， ∴ ， ，∴ . 与 分别绕 ， 旋转的过程中， ， 的角度保持不变，故有 ， . 又由 得 ，且 ，故可得 平面 . 又由 平面 ，所以平面 平面 （2）解：根据翻折过程中角度的不变性可知， ， . 故 为二面角 的平面角，同理 为二面角 的平面角. 由题意可知 ，所以 为等腰直角三角形. 依题意易求得 ，又求得 ，由此可得 .即可得 .结合梯形的面积公式可得 . 如图，以 的中点 为原点建立空间直角坐标系 ， 则可得点 ， ， ， ， . 所以有 ， ， 由第（1）问可知 是平面 的一个法向量， 取平面 的一个法向量 . 设平面 的一个法向量 ，则有 即可得 解得 .令 ，可得 .即 . 所以有