专题九 空间几何折叠问题（含解析）-2021届高三（新高考）二轮复习专项训练

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 专题九：空间几何折叠问题-2021新高考考点专项冲刺-解析版 一、单选题 1.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（   ） A. 144                                        B. 72                                        C. 36                                        D. 24 【答案】 B 【解析】【解答】如图：由正六边形的每个内角为 ， 按虚线处折成高为 的正六棱柱，即 ， 所以 可得正六棱柱底边边长 ， 所以正六棱柱体积： . 故答案为：B 【分析】 利用正六边形的性质求出正六棱柱的底边边长，再根据棱柱的体积公式求解． 2.如图，在矩形 中， ， ，沿 将矩形 折叠，连接 ，所得三棱锥 正视图和俯视图如图，则三棱锥 中 长为（    ） A.                                         B.                                         C.                                         D. 2 【答案】 C 【解析】【解答】根据三棱锥 正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABD⊥平面CBD，过A作AM⊥BD于点M,连结MC,则AM⊥平面CBD， ∴△MCA为直角三角形. 过C作CN⊥BD于点N, 在直角三角形ABD中，AB=1，AD= ，∴ 所以∠ABD=60°，∠ADB=30°， 则在直角三角形ABM中，AB=1，∠ABM=60°，∴ . 同理，在直角三角形CBD中， . ∴MN=BD-BM-DN= , ∴ 在直角三角形AMC中， 故答案为：C 【分析】 直接利用矩形的折叠的应用和射影定理，线面垂直的应用，勾股定理，向量的线性运算，向量的模的应用求出结果． 3.日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为 ，矩形的宽和正方形的边长均为 .若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为 ，则 的最大值为（    ） A.                                  B.                                  C. 32π                                 D.  【答案】 A 【解析】【解答】根据题意作出礼盒的直观图如下图所示： 由图可知该几何体为直三棱柱， 设等腰三角形的内切圆半径为 ，又因为等腰三角形的高为 ， 所以根据等面积法可知： ，所以 ， 又因为正方形的边长为 ，所以 ， 所以球形硬糖的半径最大值为 ，所以体积 的最大值为 ， 故答案为：A. 【分析】根据已知条件先做出礼盒的直观图，再通过分析直观图中等腰三角形的内切圆的半径以及半径与正方形边长的关系，确定出球形硬糖的最大半径，从而体积的最大值可求出。 4.已知菱形 边长为2， ，沿对角线 折叠成三棱锥 ，使得二面角 为60°，设 为 的中点， 为三棱锥 表面上动点，且总满足 ，则点 轨迹的长度为（    ） A.                                       B.                                       C.                                       D.  【答案】 D 【解析】【解答】连接 ，交于点 ，连接 ， 为菱形， ，所以 ， ， ， ， 均为正三角形， 所以 为二面角 的平面角，于是 ， 又因为 ，所以 为正三角形， 所以 , 取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， 所以 ， ， 所以 ，所以 平面 , 所以在三棱锥 表面上，满足 的点 轨迹为 ， 因为 ， ， ， 所以 的周