专题八 立体几何外接球问题（含解析）-2021届高三（新高考）二轮复习专项训练

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 专题八：立体几何外接球问题-2021新高考考点专项冲刺-解析版 一、单选题 1.在直三棱柱 中， ， ，若该直三棱柱的外接球表面积为 ，则此直三棱柱的高为（    ）． A. 4                                        B. 3                                        C.                                         D.  【答案】 D 【解析】【解答】解：因为 ，所以将直三棱柱 补成长方体 ，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线， 设球的半径为 ，则 ，解得 ， 设直三棱柱的高为 ，则 ，即 ， 解得 ，所以直三棱柱的高为 ， 故答案为：D 【分析】因为 ，所以将直三棱柱 补成长方体 ，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的长，进而求出外接球的直径，从而求出外接球的半径长，再利用勾股定理求出直三棱柱的高。 2.已知四棱锥 中，底面 是矩形，侧面 是正三角形，且侧面 底面 ， ，若四棱锥 外接球的体积为 ，则该四棱锥的表面积为（    ） A.                                     B.                                     C.                                     D.  【答案】 B 【解析】【解答】设四棱锥 外接球的球心为 ，过 作底面 的垂线，垂足为 ， 因为四边形 是长方形，所以 的底面中心，即对角线 的交点， 过 作三角形 的垂线，垂足为 ，所以 是正三角形 外心， 设外接球半径为 ，外接球的体积为 ，所以 ，即 ， 过 作 ，则 是 的中点，连接 ，所以 ， ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 ，所以 ，所以 平面 ，所以 ， 所以四边形 是平行四边形，即 ，设 ，则 ， ， 所以 ，由勾股定理得 ，即 ， 解得 ，所以 ， ， 因为 ，所以 平面 ， 平面 ， 所以 ， ， ， 因为 ， ， 作 于 ，所以 为 的中点，所以 ，所以 ， ， 所以 。 故答案为：B. 【分析】设四棱锥 外接球的球心为 ，过 作底面 的垂线，垂足为 ，因为四边形 是长方形，所以 的底面中心，即对角线 的交点，过 作三角形 的垂线，垂足为 ，所以 是正三角形 外心，再利用球的体积公式结合已知条件，进而求出球的半径长，过 作 ，则 是 的中点，连接 ，所以 ， ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，所以 ，所以 平面 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，即 ，设 ，再利用勾股定理结合已知条件，进而求出x的值，所以 ， 再利用三角形面积公式结合 ，所以 平面 ， 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ， ， 再利用等面积法结合三角形面积公式，进而结合勾股定理，进而结合中点的性质求出PH的长，再利用三角形面积和矩形面积公式结合求和法，进而求出该四棱锥的表面积。 3.已知长方体 的底面是边长为2的正方形，高为4，E是 的中点，则三棱锥 的外接球的表面积为（    ） A. 12π                                     B. 20π                                     C. 24π                                     D. 32π 【答案】 B 【解析】【解答】如图，O为 中点，M为 中点， 由题可得 ，所以 为直角三角形， ， 又因为在三棱锥 中， 平面 ，