专练15（圆综合-解答题）（20题）2021中考数学压轴题必杀专练300题（通用版）

2021中考数学压轴题必杀专练300题 专练15（圆综合-解答题）（20道） 1．（2021·河北邢台市·九年级一模）如图，在矩形中，，，点在对角线上（不与点、重合），以为圆心，以为半径作圆交于点． （1）______； （2）若圆经过点，求圆的面积； （3）若圆与的边所在直线相切，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或或． 解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴． ∴在中，， ∴． （2）如图，连接OA， 根据题意可知， ， ，， ， ， ⊙的面积．. （3）①如图，若⊙与AD相切，设切点为F，连接OF． 由切线的性质可知， ， ， ， ，即， 解得：． ②若⊙与相切时，设切点为，连接OG， 同理可证， ， ，即， 解得：． ③若⊙与相切时，设切点H，连接OH，设、相交于点P， ， 过点作于Q， ，即 ， ，． ，即， 解得：． 综上OB的长为或或． 【点睛】 本题为圆的综合题．考查勾股定理、三角函数、等腰三角形的判定和性质、圆的面积公式、切线的性质和三角形相似的判定和性质，综合性较强．作出辅助线及利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 2．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级一模）已知：内接于，过点作，垂足为点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，连接，为中点，连接，．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长、分别交于点、，、的延长线相交于点，连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） （1）作AM平分∠BAC交BC于M， ∴∠BAM=∠CAM=， ， ， ∴∠DBC+∠C=90°， ∴∠CAM+∠C=∠DBC+∠C=90°， ∴∠AMB=∠AMC=90°， 在△AEB和△AEC中， ， ∴△AMB≌△AMC（ASA）， ∴AB=AC， （2）延长CF交于点L，交于点N，连结BL， ∵∠ECF=∠BAC， ， ， ． ， ， ， ， ， ． ， ， 点为中点， ， 在△BFL和△EFC中 ， ， ， ， ； （3）连接， 且， 四边形为平行四边形， ，， 连接， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 过点作， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则，， 在中，，， ， 连接OA、， 为中点， ． ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查角平分线，两直线垂直，三角形全等判定与性质，圆周角性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握角平分线，两直线垂直，三角形全等判定与性质，圆周角性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，关键是利用辅助线构造准确的图形． 3．（2021·河北石家庄市·九年级一模）如图，延长的直径，交直线于点，且，．射线自出发绕点逆时针旋转，旋转角为；同时，线段从出发绕点逆时针旋转，旋转角为，直线与射线交于点，与直线交于点，其中，且． （1）当时，的长为__________； （2）当时，求旋转角，并证明射线是的切线； （3）当时，求线段的长度； （4）直接写出线段的最大值． 【答案】（1）；（2）30°；见解析；（3）或；（4）． 解：（1）∵∠BOC=2， ∴∠BOC=40° ； （2）①解：当时，， ∵，∴， ∵，即， ∴． ②证明：过点作于点（如图2）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （3）情况1：当点在右侧时： 过点作于点（如图2）， 设，由可得，， 又∵，即，∴． ∴，∴， ∴， ， 又， ∴， ∴，即， ∴． 情况2：当点在左侧时： 过点作的延长线于点（如图3）， 设，由， 同理可得，， ∴， ∴． 类比情况1， 得， ， 又， 即， ∴． （4）∵当点在右侧时，， 当点在左侧时，， ∴点在以为弦，圆心角为的上运动 ∴当、、三点共线，且点在线段上时，最大， 此时，，， ∴最大值为． 【点睛】 本题考查圆周角定理、切线的证明、锐角三角函数、相似三角形、利用分类讨论思想是难点．圆外一点到圆上的最值问题是中考的常考模型． 4．（2021·上海闵行区·九年级二模）如图，在矩形中，，，点P在边上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，为半径作圆，圆P与射线的另一个交点为点E，直线与射线交于点G．点M为线段的中点，联结．设． （1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （2）联结，当时，求x的值； （3）如果射线与圆P的另一个公共点为点F，当为直角三角形时，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）6 解：(1)由勾股定理，， ∵点M为线段的中点， ∴PM⊥BE， 中，，解得， 点P与端点C不重合，所以，当直线恰好经过A点时， BE=BD=，，，该函数的定义域为：． （2）过点E作于点H，若，可知 设，则 由勾股定理，可得，解得 所以，解