专练12（四边形综合-解答题）（20题）2021中考数学压轴题必杀专练300题（通用版）

2021中考数学压轴题必杀专练300题 专练12（四边形综合-解答题）（20道） 1．（2021·邹城市看庄中学九年级一模），过点作交的延长线于点，． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）为线段上一点，点，在直线上，且，． ①当时，如图2，求证：． ②当时，如图3，线段，，的数量关系如何？（请直接写出猜想的结论） 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②CD+ BN=PB． （1）∵BE=AB，且ED⊥AD， 即BD为Rt△ADE斜边的的中线， ∴BD=BE=AB=， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， AB∥CD， ∴BE =CD，BE∥CD， ∴四边形BDCE是平行四边形， 又∵BD=BE， ∴四边形BDCE是菱形； （2）①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠PBM=∠A=60°， ∵PM=PB， ∴△PBM是等边三角形， ∴PM=PB=BM， ∵∠DPN=∠BPM， ∴∠DPN+∠BPN =∠BPM+∠BPN，即∠DPB =∠NPM， ∵四边形BDCE是菱形， ∴∠DBP =∠NMP=60°， 在△DBP和△NMP中， ， ∴△DBP△NMP(ASA)， ∴MN=BD=BE，BM+BN=BM+ME， ∴BN=ME， ∴CD=BE=BM+ME=PB+BN； ②∵∠A=45°，且ED⊥AD， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠DEA=45°， 同（1）法可证明四边形BDCE是正方形， 同①可得∠DPN=∠BPM， ∴∠DPN-∠BPN =∠BPM-∠BPN，即∠DPB =∠NPM， ∵PM=PB， ∴∠MBP =∠NMP=45°， ∴△MBP是等腰直角三角形， 即∠MBP =∠NMP=45°=∠PBD， 在△DBP和△NMP中， ， ∴△DBP△NMP(ASA)， ∴MN=BD=BE，BM+BN=BM+ME， ∴BN=ME， ∵△MBP是等腰直角三角形， ∴BM=PB=MN+BN=BD+BN=CD+ BN； 即CD+ BN=PB． 【点睛】 本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，证明△DBP≌△NMP是本题的关键． 2．（2021·新乡市·河南师大附中九年级其他模拟）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为___________，位置关系为___________．（直接写出答案） （2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系； （3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 【答案】（1），；（2），；（3）260 （1）延长DG交BE于M，交AB于 N，如图2， ∵四边形ABCD、四边形EFGA为正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠GAE＝90°， ∴∠DAB－∠BAG＝∠GAE－∠BAG， 即 ∠DAG＝∠BAE， 在△DAG和△BAE中， ∴△DAG≌△BAE（SAS）， ∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE， ∵∠AND＝∠BNM， ∴∠BMN＝∠NAD＝90°，即BE⊥DG， 故答案为：；； （2），，理由如下： 设与交于，与交于点，如图3， ∵，，， ∴，． ∵四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）连接EG、BD，如图3 ∵，，， ∴，． ∵四边形和四边形为矩形， ∴ ∴，， 由（2）证得 ， ∴． 【点睛】 本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键． 3．（2021·江西九年级一模）如图1，在菱形中，，，点为上一动点，在点的运动过程中，始终保持，，连接，，与相交于点． （1）如图1，求证四边形为平行四边形； （2）当点运动到什么位置时，四边形为矩形？并说明理由； （3）如图2，延长到，使，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）的垂直平分线上，理由见解析；（3），理由见解析 解：（1）证明：由菱形的性质可得，， 由平移可得，，； ∴，， ∴四边形为平行四边形； （2）当点运动到的垂直平分线上时，四边形为矩形． ∵菱形中，， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； （3）如图，连接， 由（1）得四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 由菱形的轴对称可得，即， ∴． 【点睛】 本题考查平行四边