专练09（三角形综合-解答题）（20题）2021中考数学压轴题必杀专练300题（通用版）

2021中考数学压轴题必杀专练300题 专练09（三角形综合-解答题）（20道） 1．（2021·河南焦作市·九年级其他模拟）（1）问题发现 如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）类比探究 如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标． 【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由见详解；（2）AB=kAC， 180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值为3 解：（1）BD＝CE，BD⊥CE， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC−∠DAC，∠CAE＝∠DAE−∠DAC ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∵， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠AGB＝∠FGC， ∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE， 故答案是：BD＝CE，BD⊥CE； （2）∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β， ∴ABCADE， ∴， ∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∴BADCAE， ∴∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB＝∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β， ∴AB=kAC，直线BD和CE相交所成的较小角的度数为：180°-α-β； （3）由题意得：MN=MP，∠NMP=90°， 把OPM绕点M顺时针旋转90°得到 （与N重合），则，， ∵点M的坐标为（3，0）， ∴(3，3) ∵OPM， ∴，即线段OP长度最小时，的长度最小， ∴当⊥y轴时，的长度最小，此时(0，3)， ∴N(0，3)，OP的最小值为3 . 2．（2021·山东济南市·九年级一模）在中，，点P为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是__________，为______度； （2）如图2，当时，写出线段和线段的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的最小值． 【答案】（1）PA＝DC，60；（2）CD＝PA．理由见详解；（2）+ （1）①证明： ∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD， ∴PB＝PD， ∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°， ∴△ABC，△PBD是等边三角形， ∴∠ABC＝∠PBD＝60°， ∴∠PBA＝∠DBC， ∵BP＝BD，BA＝BC， ∴△PBA≌△DBC（SAS）， ∴PA＝DC． 设BD交PC于点O，如图1， ∵△PBA≌△DBC， ∴∠BPA＝∠BDC， ∵∠BOP＝∠COD， ∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°． 故答案是：PA＝DC，60； （2）解：结论：CD＝PA．理由如下： ∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°， ∴BC＝2•AB•cos30°＝BA，BD═2BP•cos30°＝BP， ∴=， ∵∠ABC＝∠PBD＝30°， ∴∠ABP＝∠CBD， ∴△CBD∽△ABP， ∴， ∴CD＝PA； （3） 过点C作射线CM，使得sin∠ACM=，过点P作PN⊥CM于点N，则PN=PC， 过点B作于点G，则BG=AB×sin∠BAG=2×sin60°=3，AG= AB×cos∠BAG=． 当点B、P、N共线时，BP+PN最小，即最小， ∵∠BGP=∠CNP=90°，∠BPG=∠CPN， ∴， ∴， 设GP=x，则AP=-x，BP=3x， ∴，解得：x=， ∴BP=，AP=-， ∴CP=AC+AP=2+-=3-， ∴最小值=+×(3-)=+． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，第（1）（2）题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，第（3）题的关键是过点C作射线CM，使得sin∠ACM=，过点P作PN⊥CM于点N． 3．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，当点P