秘籍14 选考内容-备战2021年高考数学(理)抢分秘籍

秘籍14 选考内容 1.在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）． （Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系． 【解答】：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（，）， 所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，）， 直线OP的平面直角坐标方程y=x； （Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=4， 圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2， 直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y﹣2=0， 圆心到直线的距离为：=＞2， 所以，直线l与圆C相离． 极坐标与直角坐标的互化方法 （1）互化的前提：①直角坐标系的原点与极点重合；②x轴的正半轴与极轴重合；③在两种坐标系中取相同的长度单位． （2）互化公式：设M是平面内任一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），则极坐标与直角坐标的互化公式为，． 2.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0． （Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程； （Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值和最小值． 【解答】：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（其中t为参数）， ∴直线l的普通方程为y=2x+4， ∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y， ∴曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x+3=0． （Ⅱ）如图，过圆心C作l的垂线m，交圆于A、B两点， 则A点到直线l的距离最小，B点到直线l的距离最大，记垂足为Q， 则|CQ|==，∴圆上点P到l的距离的最小值为|AQ|=﹣1，最大值为|BQ|=+1． 1．参数方程和普通方程的互化 （1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数． （2）如果知道变量x，y中的一个与参数t的关系，例如，x=f（t），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g（t），那么就是曲线的参数方程． （1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性． （2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 2．几种常见曲线的参数方程 （1）圆 以O′（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数． 当圆心在（0，0）时，方程为其中α是参数． （2）椭圆 椭圆＋=1（a>b>0）的参数方程是其中φ是参数． 椭圆＋=1（a>b>0）的参数方程是其中φ是参数． （3）直线 经过点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数． 3．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 【解答】：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}． （2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立， 即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x． 由（1）知，g（x）=， 当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5； 当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2）， ∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=； 当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1； 综上，g（x）max=，∴m的取值范围为（﹣∞，]． 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 （1）若c>0，则|ax＋b|≤c⇔–c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤–c，然后根据a，b的取值求解即可； （2）若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R． 2．|x–a|＋|x–b|≥c，|x–a|＋|x–b|≤c（c>0）型不等式的解法 零点分区间法 零点分区间法的一般步骤为： ①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不