2021届北京市朝阳区高考二模数学试题

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二 数 学 2021．5 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）在复平面内，复数 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）下列函数是奇函数的是 （A） （B） （C） （D） （3）已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线 的一条渐近线方程为 （A） （B） （C） （D） （4）已知函数 （ ）的部分图象如图所示，则 的表达式为 （A） （B） （C） （D） （5）某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1， 则该四棱锥的5个面的面积中，最大的是 （A） （B） （C） （D） （6）设 ，则“ ”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理．该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的 倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则 的值至少为 （A） （B） （C） （D） （8）若圆 上存在点 ，直线 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为 （A） （B） （C） （D） （9）集合 的所有三个元素的子集记为 ．记 为集合 EMBED Equation.DSMT4 中的最大元素，则 （A） （B） （C） （D） （10）已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为2，点 是直线 上的动点．若点 在抛物线 上，且 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则 的最小值为 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． （11）已知向量 ， ，且 ，则 ________． （12）在等差数列 中，已知 ，则 ________． （13）已知 ，则 ________． （14）已知函数 ， ( )．若函数 是偶函数，则 ________；若函数 存在两个零点，则 的一个取值是________． （15）“S”型函数是统计分析、生态学、人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线．某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量 (单位：个)与时间 (单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数 ．已知函数 （ ）的部分图象如图所示， 为 的导函数． 给出下列四个结论： ①对任意 ，存在 ，使得 ； ②对任意 ，存在 ，使得 ； ③对任意 ，存在 ，使得 ； ④对任意 ，存在 ，使得 ． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分） 在 中， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ，且 的面积 ，求 的值． （17）（本小题14分） 为迎接2022年冬奥会，某地区高一、高二年级学生参加了冬奥知识竞赛．为了解知识竞赛成绩优秀（不低于85分）学生的得分情况，从高一、高二这两个年级知识竞赛成绩优秀的学生中分别随机抽取容量为15、20的样本，得分情况统计如下图所示（满分100分，得分均为整数），其中高二年级学生得分按 分组． （Ⅰ）从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，求其得分不低于90分的概率； （Ⅱ）从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取3人，用频率估计概率，记 为取出的3人中得分不低于90分的人数，求 的分布列及数学期望； （Ⅲ）由于高二年级学生样本原始数据丢失，请根据统计图信息，判断高二年级学生样本得分的最高分至少为多少分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，并说明理由． （18）（本小题13分） 如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为 的正方形， ．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 条件①： ； 条件②： ； 条件③：平面 平面 ． （19）（本小题15分） 已知函数 （ ）． （Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）判断