安徽省马鞍山市2021届高三第三次教学质量监测（三模）文科数学试题（扫描版，含答案）

扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 $ 2021年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测 文科数学参考答案 一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B D B D C B D C A C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 14． 15． 16． ①④⑤ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(12分) 【解】（1）在 中， ， 由正弦定理得： ， ……………………………………………………………3分 由 ，得 ， 又 ，得 ……………………………………………… 6分 （2）由（1）知， ， 因为 ，所以在 中 …………8分 又因为 ，所以 所以在 中 从而 所以 ………………………………12分 18．（12分） 【解】（1）20天样本数据的平均数为 ……………………………… 4分 （2）从 城市所采集的20个数据样本中， 日均值在 内的共有5天， 而 日均值为超标（大于75微克/立方米）的有4天； 记 日均值超标的4天为 ，不超标的1天为 ； 则从这5天中随机取2天，共有如下10种结果（不记顺序）： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ， 其中，抽出2天的 日均值均超标的情况有6种： 、 、 、 、 、 ，所以抽到2天的 日均值均超标的概率为 ． ………………… 8分 （3）在抽取的20天样本数据中， 城市有5天达到优级，有10天达到良级． 由样本估计总体知， 城市一年中空气质量达到优级的天数约为： （天）； 城市一年（按365天计算）中气质量达到良级的天数约为： （天）， 所以估计 城市一年中空气质量为优级约有91天，空气质量为良级约有183天．…… 12分 19．(12分) 【证明】（1）根据题意可得， ， ， ， 又 底面 为菱形， ， ， ………………………………2分 又 EMBED Equation.DSMT4 ， 平面 ， ………………………………4分 又 平面 ，平面 平面 ． ………………………………6分 【解】（2）由题意可得， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ， ………………………………8分 由（1）可知， 平面 ，又 ， ．………………………12分 20．（12分） 【解】（1）由题意，双曲线 ，得 ， 由抛物线 ，得 ，所以 故抛物线的标准方程为 ． ……………………4分 （2）由（1）知，抛物线的标准方程为 ，焦点 ，设直线 的方程： ， ，联立 ，得： ， 由韦达定理： ， ， 于是， ……………………….8分 （3）直线 不一定过焦点 ．理由如下：设直线 的方程： EMBED Equation.DSMT4 ， 联立 ，得： ， 由韦达定理： ， ， 于是， ，解得： 或 ． 当 时，例如直线： ，与抛物线联立得： ，满足 ，但是直线 不过焦点 ． .……………………….12分 21．(12分) 【解】（1）函数 的定义域为 ，当 时， 所以 ， 令 得 或 ………………………………2分 所以，当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 　　综上所述：函数 的单调递增区间为 和 ， 　　　　单调递减区间为 和 ． 　　 ………………………………5分 （2）证法一：要证 ，即证 成立， 即证 ，只需证 即证